Вариация

Вариа́ция, термин, введённый в математику Ж.-Л. Лагранжем (Lagrange. 1867) для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала. Метод вариации – метод исследования экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название Вариационное исчисление).

Пусть ${\displaystyle X}$ – некоторое пространство, на котором задан функционал ${\displaystyle f(x)}$, а ${\displaystyle V}$ – пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента ${\displaystyle x_{0}\in X}$ понимают обычно кривую ${\displaystyle x(t,v)}$, ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \beta }$, ${\displaystyle \alpha \leqslant 0}$, ${\displaystyle \beta \geqslant 0}$, ${\displaystyle v\in V}$, в пространстве ${\displaystyle X}$, проходящую через ${\displaystyle x_{0}}$ в определённой близости от ограничений, причём ${\displaystyle x_{0}}$ соответствует значение ${\displaystyle t=0}$. Когда ${\displaystyle v}$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки ${\displaystyle x_{0}}$. В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Лагранжа, обычно применяют вариации по направлениям, когда ${\displaystyle V=X}$ и ${\displaystyle x(t,v)=x_{0}+tv}$. В этом случае вариацией называется вектор ${\displaystyle v}$. Однако в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяют и другие классы вариаций, например ломаные вариации, игольчатые вариации, вариации, связанные со скользящими режимами (Блисс. 1950^[1]; Понтрягин. 1983^[2]). Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций – важнейший элемент при получении необходимых условий экстремума. См. также в статьях Вариация функционала, Производная Гато, Производная Фреше, Функциональная производная.