Большое решето

Большо́е решето́, метод, разработанный Ю. В. Линником в 1941 г. и позволяющий высеивать последовательности с возрастающим числом выбрасываемых вычетов. Сущность большого решета заключается в следующем. Пусть задана последовательность целых положительных чисел ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{z}}$, не превосходящих ${\displaystyle N}$, простое число ${\displaystyle p\leqslant {\sqrt {N}}}$ и вычет ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle 0\leqslant l\leqslant p-1}$. Пусть

${\displaystyle Q(p,l)=\sum _{n_{i}\equiv l({\bmod {p}}),n_{i}\leqslant N}1}$.

Из статистических соображений, которые могут быть строго обоснованы с помощью основной идеи кругового метода, следует, что ${\displaystyle Q(p,l)>0}$ для почти всех ${\displaystyle p}$ и, соответственно, для почти всех ${\displaystyle l}$. Пусть ${\displaystyle A}$ – количество таких ${\displaystyle p}$, а ${\displaystyle B=B(p)}$ – количество соответствующих ${\displaystyle l}$.

Ю. В. Линник доказал, что

${\displaystyle A\geqslant \pi ({\sqrt {N}})-{\frac {CN}{\tau ^{2}Z}}}$

и

${\displaystyle B(p)\geqslant (1-\tau )p}$,

где ${\displaystyle C>0}$ – константа, а ${\displaystyle \tau \in (0,1)}$, и вывел теорему о том, что количество простых чисел из сегмента ${\displaystyle \left[N^{\varepsilon },N\right]}$, для которых нарушается гипотеза Виноградова о наименьшем квадратичном невычете, может быть только конечным (зависящим от ${\displaystyle \varepsilon }$).

Имеются усовершенствования метода большого решета, при этом рассматриваются оценки величины ${\displaystyle Q(p,l)}$ в среднем. Лучший результат принадлежит Э. Бомбьери (1965):

${\displaystyle \sum _{p\leqslant {\sqrt {N}}}p\sum _{l=0}^{p-1}\left[Q(p,l)-{\frac {Z}{p}}\right]^{2}\leqslant CNZ}$.

Наиболее значительный вклад в современную аналитическую теорию чисел метод большого решета дал в сочетании с плотностным методом, что привело к доказательству теоремы Виноградова – Бомбьери (1965) – усреднённого асимптотического закона простых чисел в прогрессиях. Эта и другие аналогичные теоремы о среднем нашли широкое применение при решении ряда известных задач теории чисел, заменяя во многих случаях обобщённую гипотезу Римана.