Блоховские электроны

Бло́ховские электро́ны, электроны в периодическом потенциале кристаллической решётки ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$ (где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ – пространственная координата), волновые функции которых подчиняются теореме Блоха: ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {r}}}u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ – произвольный вещественный вектор, а функция ${\displaystyle u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ имеет ту же периодичность, что и потенциал. Обозначив основные периоды потенциала (базисные векторы кристаллической решётки) ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}}$, можно записать условие периодичности в виде ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=U({\boldsymbol {r}})}$, ${\displaystyle u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ для произвольного вектора вида ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}}$, где ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$ – целые числа. Следствием теоремы Блоха является закон преобразования волновой функции при трансляциях: ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=e^{i{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {a}}}\psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$.

При описании кристаллов под потенциалом ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$ понимается самосогласованный потенциал, действующий на электрон со стороны ионов, образующих кристаллическую решётку, и остальных электронов. В результате использования усреднённого поля ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$ многочастичная задача сводится к одночастичной, и блоховские электроны можно рассматривать как квазичастицы, находящиеся в самосогласованном поле окружающих частиц.

Периодичность потенциала приводит к образованию энергетических зон – разрешённых интервалов энергии, обычно разделённых щелями. В записи ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ индекс ${\displaystyle s}$ обозначает номер энергетической зоны. При фиксированном ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ энергия принимает дискретный ряд значений ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$, принадлежащих разным энергетическим зонам. В каждой зоне при изменении ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ энергия принимает значения в некотором ограниченном интервале. Зависимость ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$ при фиксированном номере зоны ${\displaystyle s}$ называется законом дисперсии в данной энергетической зоне.

Вид волновой функции ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ имеет сходство с волновой функцией свободного электрона (плоской волной), однако в случае блоховских электронов плоская волна ${\displaystyle e^{i{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {r}}}}$ имеет дополнительную периодическую модуляцию по амплитуде ${\displaystyle u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$. Это приводит к тому, что величина ${\displaystyle \hbar {\boldsymbol {k}}}$, играющая роль сохраняющегося импульса ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$, определяющего поведение волновой функции свободного электрона при трансляции на вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$, уже не имеет смысла сохраняющегося импульca. Вообще, сохраняющегося импульса для блоховского электрона не существует, т. к. в неоднородном потенциале закон сохранения импульса не выполняется. Тем не менее в этой ситуации, согласно теореме Блоха, можно характеризовать состояние электрона некоторым постоянным в пространстве вектором ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$.

Величина ${\displaystyle \hbar {\boldsymbol {k}}}$, называемая квазиимпульсом, неоднозначна в соответствии с тем, что вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ определён с точностью до любого вектора обратной решётки ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$, т. е. функция ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ не изменяется при замене ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ на ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {b}}}$ (в соответствии с определением вектора обратной решётки ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}{\boldsymbol {a}}=2\pi n}$, где ${\displaystyle n}$ – целое число). Энергия блоховских электронов также периодична в обратной решётке ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {b}})=\varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$. В состоянии с определённым квазиимпульсом истинный импульс блоховских электронов может с различными вероятностями иметь бесконечное число значений вида ${\displaystyle \hbar ({\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {b}})}$.

При столкновениях блоховских электронов квазиимпульс сохраняется с точностью до вектора обратной решётки: ${\displaystyle \hbar {\boldsymbol {k}}_{1}+\hbar {\boldsymbol {k}}_{2}=\hbar {\boldsymbol {k}}_{1}'+\hbar {\boldsymbol {k}}_{2}'+\hbar {\boldsymbol {b}}}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{1}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{2}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{1}'}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}_{2}'}$ – квазиимпульсы блоховских электронов до и после столкновения соответственно.

В достаточно слабом внешнем поле применимо квазиклассическое описание движения блоховских электронов, которые можно рассматривать как классические частицы с кинетической энергией ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$. При этом скорость блоховских электронов является периодической функцией ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ и обращается в нуль на границе зоны Бриллюэна.