Теорема Блоха

Теоре́ма Бло́ха, фундаментальная теорема квантовой теории твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции электрона, находящегося в поле с периодическим потенциалом ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$, в частности в кристаллической решётке. Сформулирована Ф. Блохом в 1928 г. Суть теоремы заключается в том, что волновая функция в периодическом поле ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$ (где ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ – пространственная координата) имеет вид ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})=e^{i{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {r}}}u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ – произвольный вещественный вектор, а функция ${\displaystyle u_{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ имеет ту же периодичность, что и потенциал ${\displaystyle U({\boldsymbol {r}})}$. Теорема Блоха связана с трансляционной инвариантностью уравнения Шрёдингера, т. е. с инвариантностью при сдвиге на любой вектор вида ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}}$ – основные периоды потенциала (базисные векторы кристаллической решётки), ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$ – целые числа. Если ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ – решение уравнения Шрёдингера, то ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})}$ также является его решением, причём описывает то же самое состояние и, следовательно, может отличаться от ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ лишь умножением на фазу. Именно это и следует из теоремы Блоха: ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {a}})=e^{i{\boldsymbol {k}}{\boldsymbol {a}}}\psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$.

Периодичность потенциала приводит к образованию энергетических зон – разрешённых интервалов энергии, обычно разделённых щелями. В записи ${\displaystyle \psi _{s{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})}$ индекс ${\displaystyle s}$ обозначает номер энергетической зоны. При фиксированном ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ энергия принимает дискретный ряд значений ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$, принадлежащих разным энергетическим зонам. В каждой зоне при изменении ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ энергия пробегает значения в некотором ограниченном интервале. Зависимость ${\displaystyle \varepsilon _{s}({\boldsymbol {k}})}$ при фиксированном ${\displaystyle s}$ называется законом дисперсии в ${\displaystyle s}$-й зоне.

При движении в периодическом потенциале импульс не сохраняется, а похожая на него сохраняющаяся величина ${\displaystyle \hbar {\boldsymbol {k}}}$ (${\displaystyle \hbar }$ – постоянная Планка) называется квазиимпульсом. Для учёта всех физически различных состояний достаточно рассмотреть ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$, лежащие в конечной области (зоне Бриллюэна). Например, в случае кубической решётки каждую компоненту вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ можно выбрать в диапазоне ${\displaystyle -\pi /a_{i}<k_{i}<\pi /a_{i}}$. Такой интервал называется первой зоной Бриллюэна.