Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия, динамическая мера движения объектов в классической механике. Кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ материальной точки равна половине произведения массы ${\displaystyle m}$ материальной точки на квадрат скорости ${\displaystyle v}$ её движения:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}),}$

где ${\displaystyle v_{x}}$, ${\displaystyle v_{y}}$, ${\displaystyle v_{z}}$ – проекции вектора скорости ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ на оси ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$. Кинетическая энергия системы материальных точек представляет собой сумму кинетических энергий всех точек системы: ${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}}$. Эту величину можно представить в виде суммы двух слагаемых ${\displaystyle T=T_{c}+T_{\text{отн}}}$. Здесь ${\displaystyle T_{c}=1/2mv_{c}^{2}}$ – величина, равная кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы, с массой, равной массе системы: ${\displaystyle m=\sum _{i}m_{i}}$. Второе слагаемое ${\displaystyle T_{\text{отн}}}$ описывает кинетическую энергию движения точек относительно поступательно движущейся системы координат с началом в центре масс.

При движении со скоростями, близкими к скорости света (в релятивистской механике), выражение для кинетической энергии материальной точки приобретает вид

${\displaystyle T=m_{0}c^{2}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right),}$

где ${\displaystyle m_{0}}$ – масса покоящейся точки, ${\displaystyle c}$ – скорость света в вакууме. При малых скоростях ${\displaystyle (v\ll c)}$ это выражение сводится к классической формуле ${\displaystyle T=1/2mv2}$. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, составляет ${\displaystyle T=1/2I\omega ^{2}}$, где ${\displaystyle I}$ – момент инерции относительно этой оси, ${\displaystyle \omega }$ – угловая скорость вращения тела. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки ${\displaystyle O}$, кинетическая энергия равна

${\displaystyle T=1/2(I_{x}\omega _{x}^{2}+I_{y}\omega _{y}^{2}+I_{z}\omega _{z}^{2}),}$

где ${\displaystyle I_{x}}$, ${\displaystyle I_{y}}$, ${\displaystyle I_{z}}$ – главные моменты инерции тела относительно точки ${\displaystyle O}$; ${\displaystyle \omega _{x}}$, ${\displaystyle \omega _{y}}$, ${\displaystyle \omega _{z}}$ – проекции его угловой скорости на главной оси инерции относительно точки ${\displaystyle O}$. В случае произвольного движения кинетическая энергия твёрдого тела складывается из энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения тела вокруг центра масс:

${\displaystyle T=T_{c}+T_{\text{отн}}=T_{c}+1/2(I_{cx}\omega _{x}^{2}+I_{cy}\omega _{y}^{2}+I_{cz}\omega _{z}^{2}),}$

где ${\displaystyle I_{cx}}$, ${\displaystyle I_{cy}}$, ${\displaystyle I_{cz}}$ – главные центральные моменты инерции тела.

При изменении состояния движения механической системы её кинетическая энергия изменяется на величину работы, совершённой активными силами (как внешними, так и внутренними). В консервативных механических системах кинетическая энергия может переходить в потенциальную энергию и обратно при сохранении полной механической энергии системы.

Кинетическая энергия – скалярная величина, но она связана с векторными динамическими мерами движения (импульсом ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ и кинетическим моментом ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}_{\text{c}}}$ вращения тела вокруг центра масс) и определяет величину проекций данных векторов на оси координат:

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\left\{{\frac {\partial T}{\partial v_{x}}},{\frac {\partial T}{\partial v_{y}}},{\frac {\partial T}{\partial v_{z}}}\right\}}$;

${\displaystyle {\boldsymbol {G}}_{\text{c}}=\left\{{\frac {\partial T_{\text{отн}}}{\partial \omega _{x}}},{\frac {\partial T_{\text{отн}}}{\partial \omega _{y}}},{\frac {\partial T_{\text{отн}}}{\partial \omega _{z}}}\right\}}$.

Именно поэтому кинетическая энергия является одним из ключевых понятий механики.