Безусловная сходимость

Безусло́вная сходи́мость, свойство ряда сходиться при любой перестановке его членов. Точнее, ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$ (*)

из элементов линейного пространства ${\displaystyle E}$, в котором определено понятие сходящейся последовательности, называется безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке его членов.

Одно направление исследований относится к изучению безусловно сходящихся рядов в векторных метрических (или топологических) пространствах (см. Банах. 1948^[1], Дэй. 1961^[2], Данфорд. 1962^[3]). Так, для безусловно сходящегося ряда (*) из элементов банахова пространства${\displaystyle E}$ необходимо и достаточно, чтобы каждый частичный ряд

{{center|${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{n_{k}},\quad n_{1}<n_{2}<\ldots }$ – конечномерное векторное нормированное пространство, то безусловная сходимость ряда равносильна сходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\Vert u_{n}\Vert _{E}}$. В бесконечномерном банаховом пространстве такое утверждение неверно.</n_2<\ldots<></math>

Другое направление исследований касается свойств безусловно сходящихся почти всюду функциональных (или ортогональных) рядов (Качмаж. 1958^[4]). Эти свойства зачастую принципиально отличны от свойств безусловной сходимости рядов в банаховых пространствах. Так, например, аналог сформулированной выше теоремы Орлича не имеет места для безусловной сходимости почти всюду (Ульянов. 1961^[5]).