Барицентрические координаты

Барицентри́ческие координа́ты, координаты точки ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle E^{n}}$, отнесённые к некоторой фиксированной системе ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}}$ точек, не лежащих в ${\displaystyle (n-1)}$-мерном подпространстве. Каждая точка ${\displaystyle x\in E^{n}}$ может быть единственным образом представлена в виде

${\displaystyle x=\lambda _{0}p_{0}+\lambda _{1}p_{1}+\ldots +\lambda _{n}p_{n}}$,

где ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ – действительные числа, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1}$. Точка ${\displaystyle x}$, по определению, есть центр тяжести масс ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, помещённых в точках ${\displaystyle p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}}$. Числа ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ называются барицентрическими координатами точки ${\displaystyle x}$; точка с барицентрическими координатами ${\displaystyle 1/(n+1)}$ называется барицентром.

Барицентрические координаты введены А. Мёбиусом в 1827 г. (см. Möbius. 1885^[1]) как ответ на вопрос о том, какие массы следует поместить в вершинах заданного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Барицентрические координаты являются частным случаем общих однородных координат; они аффинно инвариантны.

Барицентрические координаты точек симплекса используются в алгебраической топологии (Понтрягин. 2004^[2]). Барицентрическими координатами точек ${\displaystyle n}$-мерного симплекса ${\displaystyle \sigma }$ относительно его вершин ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ называются их (общие) декартовы координаты в базисе векторов ${\displaystyle {\overline {OA}}_{0},{\overline {OA}}_{1},\ldots ,{\overrightarrow {OA}}_{n}}$, где ${\displaystyle O}$ – любая точка, не лежащая в n-мерном подпространстве, несущем ${\displaystyle \sigma }$ (считается, что ${\displaystyle \sigma }$ лежит в некотором евклидовом пространстве; при этом определение не зависит от точки ${\displaystyle O}$), или проективные координаты относительно ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$ в проективном пополнении содержащего ${\displaystyle \sigma }$ подпространства. Барицентрические координаты точек симплекса неотрицательны и их сумма равна единице. Обращение в нуль ${\displaystyle i}$-й барицентрической координаты равносильно тому, что точка лежит на противоположной вершине ${\displaystyle A_{i}}$ грани симплекса ${\displaystyle \sigma }$. Это позволяет рассматривать барицентрические координаты точек геометрического комплекса относительно всех его вершин. При помощи барицентрических координат производится барицентрическое подразделение комплекса.

По аналогии с этим вводится формальное определение барицентрических координат для абстрактных симплексов (Спеньер. 1971^[3]).