Аффинная дифференциальная геометрия

Аффи́нная дифференциа́льная геоме́трия, раздел геометрии, изучающий дифференциально-геометрические свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или её подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства.

В эквиаффинной плоскости каждые два вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}}$ имеют инвариант ${\displaystyle ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})}$ – площадь параллелограмма, построенного на векторах ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$. С помощью этого понятия для кривой ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(t)}$, отличной от прямой, строится инвариантный параметр

${\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}|({\ddot {\boldsymbol {r}}},\,{\ddot {\boldsymbol {r}}})|^{1/3}\,dt}$,

называемый эквиаффинной дугой. Дифференциальный инвариант

${\displaystyle k=\left({\frac {d^{2}r}{ds^{2}}},{\frac {d^{3}r}{ds^{3}}}\right)}$

называется эквиаффинной кривизной плоской кривой. Постоянство эквиаффинной кривизны характеризуют кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение ${\displaystyle k=f(s)}$ определяет кривую с точностью до эквиаффинного преобразования. Вектор ${\displaystyle n=d^{2}{\boldsymbol {r}}/ds^{2}}$ направлен по аффинной нормали к плоской кривой: аффинная нормаль в точке ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle k\neq 0}$, касается геометрического места середин хорд кривой, параллельных касательной в точке ${\displaystyle M}$ и совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке ${\displaystyle M}$ соприкосновение 3-го порядка с кривой.

При переходе к общей аффинной группе у кривой рассматривают два более сложных инварианта: аффинную дугу ${\displaystyle \sigma }$ и аффинную кривизну ${\displaystyle \varkappa }$. Они могут быть выражены через введённые выше инварианты ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle \sigma =\int k^{1/2}ds,\quad \varkappa ={\frac {1}{k^{3/2}}}\cdot {\frac {dk}{ds}}}$

(в эквиаффинной геометрии сами величины ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle k}$ для краткости называются аффинной дугой и аффинной кривизной). Подобным же образом строятся центроаффинная дуга, центроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой.

В эквиаффинном пространстве каждым трём векторам ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},\,{\boldsymbol {b}},\,{\boldsymbol {c}}}$ может быть отнесён инвариант ${\displaystyle ({\boldsymbol {a}},\,{\boldsymbol {b}},\,{\boldsymbol {c}})}$ – объём ориентированного параллелепипеда, определяемого этими векторами. Натуральный параметр (эквиаффинная дуга) кривой ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(t)\left({\boldsymbol {r}}\in C^{3}\right)}$ определяется формулой

${\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}|({\dot {\boldsymbol {r}}},\,\,{\ddot {\boldsymbol {r}}},\,\,{\overset {...}{\boldsymbol {r}}})|^{1/6}\,dt}$.

Дифференциальные инварианты ${\displaystyle \varkappa =\left({\boldsymbol {r}}^{\prime },{\boldsymbol {r}}^{\prime \prime \prime },{\boldsymbol {r}}^{\mathrm {IV} }\right)}$, ${\displaystyle \tau =-\left({\boldsymbol {r}}^{\prime \prime },{\boldsymbol {r}}^{\prime \prime \prime },{\boldsymbol {r}}^{\mathrm {IV} }\right)}$, где штрихи означают дифференцирование по натуральному параметру, называются соответственно эквиаффинной кривизной и эквиаффинным кручением пространственной кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или иного сопровождающего репера; особую роль играет репер, образованный векторами

${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\dot {r}}},\quad {\boldsymbol {\ddot {r}}},\quad {\boldsymbol {\overset {...}{\boldsymbol {r}}}}+\varkappa {\frac {\boldsymbol {\dot {r}}}{4}}\right\}}$

и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го порядка рассматриваемой кривой. Разработана также центроаффинная теория пространственных кривых (Широков П. А., Широков А. П. 1959^[1]).

Для поверхности ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}\left(u^{1},u^{2}\right)}$ в эквиаффинном пространстве, отличной от развёртывающейся поверхности, строится тензор

${\displaystyle g_{ij}={\frac {a_{ij}}{|a|^{1/4}}}}$,

где ${\displaystyle a_{ij}=\left(r_{1},r_{2},r_{ij}\right)}$, ${\displaystyle a=\operatorname {det} \left(a_{ij}\right)}$, ${\displaystyle r_{i}=\partial _{i}{\boldsymbol {r}}}$, ${\displaystyle r_{ij}=\partial _{ij}{\boldsymbol {r}}}$. Вектор

${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\frac {1}{2}}g^{ks}\nabla _{k}r_{s}}$,

где ${\displaystyle \nabla _{k}}$ – символ ковариантной производной в связности с метрическим тензором ${\displaystyle g_{ij}}$, задаёт направление аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Деривационные уравнения

${\displaystyle \partial _{j}r_{i}={\overset {1}{\Gamma }}_{ij}{}{^{s}}r_{s}+g_{ij}N}$

определяют внутреннюю связность 1-го рода ${\displaystyle {\overset {1\;}{\Gamma _{ij}^{k}}}}$ поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связность 2-го рода ${\displaystyle {\overset {2\;}{\Gamma _{ij}^{k}}}}$, определяемая деривационными уравнениями

${\displaystyle \partial _{j}v_{i}={\overset {2}{\Gamma }}_{ij}{}^{s}v_{s}+A_{ij}v_{2}}$,

где ${\displaystyle v}$ – ковариантный вектор, определяющий касательную плоскость к поверхности и подчинённый условию нормировки ${\displaystyle Nv=1}$. Связности ${\displaystyle {\overset {1\;}{\Gamma _{ij}^{k}}}}$ и ${\displaystyle {\overset {2\;}{\Gamma _{ij}^{k}}}}$ являются сопряжёнными относительно тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ в смысле А. П. Нордена (Норден. 1950^[2]). Тензор

${\displaystyle T_{ij}^{k}={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\overset {1}{\Gamma _{ij}^{k}}}-{\overset {2}{\Gamma _{ij}^{k}}}{\bigr )}}$,

играющий также основную роль в проективной дифференциальной геометрии, позволяет построить симметрический ковариантный тензор

${\displaystyle T_{ijk}=g_{ks}T_{ij}^{s}}$.

Строятся также две основные формы поверхности: квадратичная формa

${\displaystyle \varphi =g_{ij}\,du^{i}\,du^{j}}$

и кубическая форма Фубини – Пика

${\displaystyle \psi =T_{ijk}\,du^{i}\,du^{j}\,du^{k}}$.

Эти формы связаны условием аполярности

${\displaystyle g^{ij}T_{ijk}=0}$.

Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным дифференциальным условиям, определяют поверхность с точностью до эквиаффинных преобразований. Все эти положения обобщаются на многомерный случай.

В аффинном и эквиаффинном пространствах выделяется много специфических классов поверхностей: аффинные сферы (у которых аффинные нормали образуют связку), аффинные поверхности вращения (аффинные нормали пересекают одну собственную или несобственную прямую), аффинные минимальные поверхности и др.

Помимо кривых и поверхностей, изучаются также иные геометрические образы эквиаффинного пространства, например конгруэнции и комплексы прямых, векторные поля и др.

Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей аффинной группы и других её подгрупп как в трёхмерном, так и в многомерном пространстве (центроаффинном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом, биаффинном и т. д.).