Аддитивная теория идеалов

Аддити́вная тео́рия идеа́лов, одна из ветвей современной алгебры. Главная задача аддитивной теории идеалов – представление любого идеала кольца (или другой алгебраической системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примарных, терциарных, примальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление или, что то же, справедлива некоторая теорема «существования»; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется некоторая теорема «единственности». Начало аддитивной теории идеалов положено в 1920–1930-х гг. работами Э. Нётер (Noether. 1921^[1]) и В. Крулля (Krull. 1929^[2]).

Все особенности аддитивной теории идеалов отчётливо проявляются в случае колец. Пусть ${\displaystyle R}$ – нётерово кольцо, т. е. ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если ${\displaystyle A}$ – идеал в ${\displaystyle R}$, то существует наибольший идеал ${\displaystyle N}$ кольца ${\displaystyle R}$, обладающий свойством: ${\displaystyle N^{k}\subseteq A}$ для некоторого натурального ${\displaystyle k\geqslant 1}$. Этот идеал ${\displaystyle N}$ называется примарным радикалом идеала ${\displaystyle A}$ (в кольце ${\displaystyle R}$) и обозначается через ${\displaystyle \operatorname {pr} (A)}$. Идеал ${\displaystyle Q}$ кольца ${\displaystyle R}$ называется примарным, если для любых двух идеалов ${\displaystyle A,B}$ в ${\displaystyle R}$ выполняется условие:

${\displaystyle AB\subseteq Q,\quad A\nsubseteq Q\Rightarrow B\subseteq \operatorname {pr} (Q)}$.

Для примарных идеалов верна теорема пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом ${\displaystyle P}$ само есть примарный идеал с тем же радикалом ${\displaystyle P}$. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования: если кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно, то для любого идеала ${\displaystyle A\neq R}$ существует такое представление идеала ${\displaystyle A}$ в виде пересечения конечного числа примарных идеалов ${\displaystyle A_{i}}$:

${\displaystyle A=A_{1}\cap \ldots \cap A_{n},}$ (1)

что ни один из идеалов ${\displaystyle A_{i}}$ не содержит пересечения остальных и примарные радикалы ${\displaystyle \operatorname {pr} \left(A_{i}\right)}$ попарно различны. Такие представления называются несократимыми или примарно редуцированными (см. Noether. 1921, Lesieur. 1963^[3]). Для этих представлений верна теорема единственности: если (1) и

${\displaystyle A=B_{1}\cap \ldots \cap B_{m}}$ (2)

– два примарно редуцированных представления идеала ${\displaystyle A}$ кольца ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle \operatorname {pr} \left(A_{i}\right)=\operatorname {pr} \left(B_{i}\right)}$ для ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$, при надлежащей перенумеровке идеалов ${\displaystyle B_{i}}$.

Именно аддитивная теория идеалов нётеровых коммутативных колец (классическая аддитивная теория идеалов) нашла многочисленные применения в различных разделах математики.

Если кольцо ${\displaystyle R}$ некоммутативно, то теорема «существования», указанная выше, перестаёт быть верной, в то время как теоремы «единственности» и «пересечения» верны. Этот факт начиная с 1930-x гг. привёл к поискам такого обобщения классической примарности на некоммутативный случай, при котором оставалась бы справедливой и теорема «существования». Было найдено нужное обобщение (см. Lesieur. 1963) – терциарность (см. в статье Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при некоторых естественных ограничениях терциарность является единственным «хорошим» обобщением понятия примарности (см. Андрунакиевич. Аддитивная теория идеалов ... 1967^[4]; Riley. 1962^[5]; Гоян. 1967).

В 1960-е гг. аддитивная теория идеалов развивалась в рамках теорий решёток, систем с частными и мультипликативных систем (см. Lesieur. 1963, Murata. 1959^[6], Андрунакиевич. Аддитивная теория идеалов ... 1967), что дало толчок развитию, например, аддитивной теории идеалов неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля.