Вариа́ция Вита́ли, одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, которую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть функция $f(x)=f(x_1,\ldots, x_n)$ $(n=2,3,\ldots)$ задана на $n$-мерном параллелепипеде

$$D_n=[a_1,b_1]\times\ldots\times[a_n, b_n].$$Введём обозначения

$$\begin{aligned} \Delta_{h_k}(f;x)&=f(x_1,\ldots,x_k+h_k,\ldots,x_n)-\\ &-f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n),\quad k=1,\ldots,n,\\ \Delta_{h_1\ldots h_k}(f;x)&=\Delta_{h_k}(\Delta_{h_1\ldots h_{k-1}};x),\quad k=2,\ldots,n. \end{aligned}$$Пусть $\Pi$ – произвольное разбиение параллелепипеда гиперплоскостями

$$\begin{gathered} x_s=x_s^{(r_s)},\quad x_s^{(r_s)}<x_s^{(r_{s+1})}, \quad x_s^{(r_{s+1})}-x_s^{(r_s)}=h_s^{(r_s)},\\ x_s^{(0)}=a_s,\quad x_s^{(l_s)}=b_s,\\ r_s=0,1,\ldots l_s-1,\quad s=1,2,\ldots,n. \end{gathered}$$на $n$-мерные параллелепипеды. Обозначим через $V(f)$ точную верхнюю грань сумм вида

$$\tag{*} \sum_{r_1=0}^{l_1-1}\ldots\sum_{r_n=0}^{l_n-1} \left|\Delta_{h_1^{(r_1)}\ldots h_n^{(r_n)}}\bigl(f;x_1^{(r_1)},\ldots x_n^{(r_n)}\bigr) \right|,$$взятую по всевозможным разбиениям $\Pi$. Если $V(f)<\infty$, то говорят, что функция $f(x)$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Витали на $D_n$, а класс всех таких функций обозначается через $V(D_n)$ или просто через $V$. Этот класс был определён Дж. Витали (Vitali. 1908). Позже это же определение вариации было предложено А. Лебегом (Lebesgue. 1910) и М. Фреше (Fréchet. 1910).

Действительнозначная функция $f(x)$, заданная на $D_n$, принадлежит классу $V(D_n)$ тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде $f(x)=f_1(x)–f_2(x)$, где функции $f_1(x)$ и $f_1(x)$ таковы, что для каждой из них суммы вида (*), взятые без знака модуля, неотрицательны (Hahn. 1921) (аналог разложения Жордана функции ограниченной вариации одного переменного). С помощью функций класса $V(D_n)$ вводится многомерный интеграл Стилтьеса. В частности, для любой непрерывной на $D_n$ функции $g(x)$ и любой функции $f(x)$ из класса $V(D_n)$ существует интеграл $\displaystyle\int_{D_n}g(x)\,df(x)$ (см. Fréchet. 1910. P. 247 и Рисс. 1979. С. 144).