Уравне́ние Óppa – Зо́ммерфельда, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

$$\varphi^{(4)}-2\alpha^2\varphi^{\prime\prime}+\alpha^4\varphi=i\alpha R[(w-c)(\varphi^{\prime\prime}-\alpha^2\varphi)-w^{\prime\prime}\varphi], \tag{1}$$где $R$ – число Рейнольдса, $w(y)$ – заданная функция (профиль скорости невозмущённого потока), которая обычно предполагается голоморфной в окрестности отрезка $[-1, 1]$ в комплексной плоскости $y$, $\alpha >0$ – постоянная и $c$ – спектральный параметр. Для уравнения Оppa – Зоммерфельда исследуется краевая задача

$$\varphi(-1)=\varphi^\prime(-1)=\varphi(1)=\varphi^\prime(1)=0. \tag{2}$$Уравнение Oppa – Зоммерфельда возникло при исследовании У. Орром (Orr. The Stability ... P. I. 1907; Orr. The Stability ... P. II. 1907) и А. Зоммерфельдом (Sommerfeld. 1909) устойчивости в линейном приближении плоского течения Пуазёйля – течения вязкой несжимаемой жидкости в слое $-\infty<x<\infty$, $-1<y<1$ с твёрдыми границами; возмущение для функции тока берётся в виде $\varphi(y) e^{i\alpha(x-ct)}$.

Собственные значения задачи (1), (2), вообще говоря, комплексны; течение устойчиво, если $\mathrm{Im}\, c<0$ для всех собственных значений, и неустойчиво, если $\mathrm{Im}\, c>0$ для некоторого из них. Кривая $\mathrm{Im}\, c(\alpha, R)=0$ называется нейтральной кривой. Течение Пуазёйля устойчиво при небольших числах Рейнольдса. В. Гейзенберг (Heisenberg. 1924) впервые высказал предположение, что течение Пуазёйля неустойчиво при больших числах Рейнольдса, и вычислил $4$ точки нейтральной кривой. Для квадратичного профиля скорости установлено, что течение неустойчиво при $\alpha R\gg 1$.

Асимптотическая теория уравнения Oppa – Зоммерфельда построена в предположении, что $(\alpha R)^{-1}\to 0$ – малый параметр. Точка $y_c$, в которой $w(y_c)=0$, является точкой поворота (см. в статье Метод малого параметра). В малой окрестности точки $y\ne y_c$ уравнение Oppa – Зоммерфельда имеет фундаментальную систему решений вида

$$\varphi_{1,2}(y)=\varphi_{1,2}^0(y)+O((\alpha R)^{-1}),$$$$\varphi_{3,4}(y)=\exp\left[\pm\int^y\sqrt{i(w-c)}\, dy\right]\times \\ \times\left[(w-c)^{-5/4}+O((\alpha R)^{-1/2})\right],$$где $\varphi_1^0(y)$, $\varphi_2^0(y)$ – фундаментальная система решений невязкого (т. е. $\alpha R=0$) уравнения

$$(w-c)(\varphi^{\prime\prime}-\alpha^2\varphi)-w^{\prime\prime}\varphi=0.$$Исследование задач (1), (2) связано, например, со следующими трудностями: 1) невязкое уравнение в окрестности точки $y=y_c$ имеет голоморфное в ней решение и решение с логарифмической особенностью; 2) при малых $|c|$ (т. е. в наиболее важном случае) точки поворота сливаются с концами отрезка $[-1, 1]$ (например, для квадратичного профиля скорости $w=1-y^2$).

При $\alpha R\gg1$ получено строгое обоснование неустойчивости (Линь Цзя-Цзяо. 1958; Гидродинамическая неустойчивость. 1964).