Це́лое расшире́ние кольца́, расширение $B$ коммутативного кольца $A$ с единицей такое, что любой элемент $x \in B$ является целым над $A$, т. е. удовлетворяет некоторому уравнению вида$$x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0=0,$$где $a_i \in A$, называемому уравнением целой зависимости.

Элемент $x$ цел над $A$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий: 1) $A[x]$ является $A$-модулем конечного типа; 2) существует точный $A[x]$-модуль, являющийся $A$-модулем конечного типа. Целый элемент алгебраичен над $A$. Если $A$ – поле, то верно и обратное утверждение. Элементы поля комплексных чисел $\mathbb{C}$, целые над кольцом $\mathbb{Z}$, называются целыми алгебраическими числами. Если кольцо $B$ есть модуль конечного типа над $A$, то любой элемент $x \in B$ цел над $A$ (обратное может не быть верным).

Пусть кольцо $R \supset A$ коммутативно, $x$ и $y$ – элементы $R$, целые над $A$. Тогда $x+y$ и $x y$ также целы над $A$, и множество всех элементов из $R$, целых над $A$, образует подкольцо, называется целым замыканием $A$ в $R$.

Все рассматриваемые далее кольца предполагаются коммутативными.

Если $B$ является целым над $A$ и $A^{\prime}$ – некоторая $A$-алгебра, то $B \otimes A^{\prime}$ цело над $A^{\prime}$. Если $B$ – целое расширение кольца $A$ и $S$ – некоторое мультипликативное подмножество в $A$, то кольцо $S^{-1} B$ является целым над $S^{-1} A$. Область целостности $A$ называется целозамкнутой, если целое замыкание $A$ в своём поле частных совпадает с $A$. Факториальное кольцо целозамкнуто. Кольцо $A$ целозамкнуто тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала $\mathfrak{p} \subset A$ целозамкнуто локальное кольцо $A_{\mathfrak{p}}$.

Пусть $B$ – целое расширение $A$ и $\mathfrak{p}$ – некоторый простой идеал кольца $A$. Тогда $\mathfrak{p} B \neq B$ и существует простой идеал $\mathfrak{P}$ кольца $B$, лежащий над $\mathfrak{p}$ (т. е. такой, что $\mathfrak{p}=\mathfrak{B} \cap A$). Идеал $\mathfrak{B}$ максимален тогда и только тогда, когда максимален $\mathfrak{p}$. Если $L$ – конечное расширение поля частных кольца $A$ и $B$ – целое замыкание $A$ в $L$, то существует лишь конечное число простых идеалов $\mathfrak{P}$ кольца $B$, лежащих над заданным простым идеалом кольца $A$.

Пусть $C \supset B \supset A$; расширение $C \supseteq A$ – целое расширение тогда и только тогда, когда целыми являются оба расширения $C \supseteq B$ и $B \supset A$.