То́ждество Ри́ччи, 1) тождество, выражающее одно из свойств тензора Римана $R_{i j, k}^l$ (или $R_{i, j, k l}$):$$R_{i j, k}^l+R_{j k, i}^l+R_{k i, j}^l=0.$$Для ковариантного тензора $R_{i j, k l}$ тождество имеет вид$$R_{i j, k l}+R_{j k, i l}+R_{k i, j l}=0,$$т. е. циклирование по трём первым индексам даёт нуль.

2) Тождество, которому должны удовлетворять ковариантные производные 2-го порядка относительно метрического тензора $g_{i j}$ риманова пространства $V_n$, отличающиеся лишь порядком дифференцирования. Если $\lambda_i$ – тензор 1-й валентности, $\lambda_{i, j k}$ – ковариантная производная 2-го порядка по $x^j$ и по $x^k$ относительно тензора $g_{j i}$, то тождество Риччи имеет вид$$\lambda_{i, j k}-\lambda_{i, k j}=\lambda_l R_{i j, k}^l,$$где $R_{i j, k}^l$ – тензор Римана, определяемый метрическим тензором $g_{i j}$, т. е. в метрике пространства $V_n$ (иными словами, альтернированная 2-я абсолютная производная тензорного поля $\lambda_i$ в метрике $g_{i j}$ выражается через тензор Римана и компоненты $\lambda_i$).

Для ковариантного тензора 2-й валентности $a_{i j}$ тождество Риччи имеет вид$$a_{i j, k l}-a_{i j, l k}=a_{i h} R_{j k, l}^h+a_{h_j} R_{i k, l}^h.$$Вообще, для ковариантного тензора $m$-й валентности $a_{r_1 \ldots r_m}$ тождество имеет вид$$a_{r_1 \ldots r_m, k l}-a_{r_1 \ldots r_m, l_k}= \sum_\alpha^{1 \ldots m}a_{r_1 \ldots r_{\alpha-1} h r_{\alpha+1} \ldots r_m} R_{r_\alpha{k l}}^h.$$Аналогичные тождества образуются и для ковариантных и смешанных тензоров в $V_n$. Тождество Риччи применяется, например, при построении геометрии подпространств в $V_n$ в качестве условия интегрируемости основных деривариационных уравнений, из которого выводятся уравнения Гаусса и Петерсона – Кодацци для подпространств в $V_n$.

Тождество установлено Г. Риччи (Ricci. 1901).