Спектра́льный семиинвариа́нт, одна из характеристик стационарного случайного процесса. Пусть $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, – действительный стационарный случайный процесс, для которого $E|X(t)|^n \leqslant C<\infty$. Семиинварианты этого процесса$$S^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right)=\left.\frac{i^{-n} \partial^n}{\partial u_1 \ldots \partial u_n} \ln \mathrm{E} e^{i\left(u_1 X\left(t_1\right)+\ldots+u_n X\left(t_n\right)\right)}\right|_{u_1=\ldots u_n=0}$$связаны с моментами$$M^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right)=\mathrm{E}\left\{X\left(t_1\right) \ldots X\left(t_n\right)\right\}$$соотношениями$$\begin{gathered} S^{(n)}(I)=\sum_{\cup_{p=1}^q I_p=I}(-1)^{q-1}(q-1) ! \prod_{p=1}^q M^{(p)}\left(I_p\right), \\ M^{(n)}(I)=\sum_{\cup_{p=1}^q I_p=I} \prod_{p=1}^q S^{(p)}\left(I_p\right), \end{gathered}$$где$$I=\left(t_1 \ldots t_n\right),\quad I_p=\left(t_{i_1} \ldots t_{i_p}\right) \subseteq I$$и суммирование ведётся по всем разбиениям множества $I$ на непересекающиеся подмножества $I_p$. Говорят, что $X(t) \in \Phi^{(n)}$, если для всех $1 \leqslant k \leqslant n$ в пространстве $\mathbb{R}^k$ существует мера $M^{(k)}(\Delta)$ ограниченной вариации такая, что для всех $t_1 \ldots t_k$$$\begin{aligned} M^{(k)}\left(t_1 \ldots t_k\right)= & \int_{\mathbb{R}^k} e^{i\left(t_1 \lambda_1+\ldots+t_k \lambda_k\right)} M^{(k)}\left(d \lambda_1 \ldots d \lambda_k\right)= \\ & =\int_{\mathbb{R}^k} e^{i(t, \lambda)} M^{(k)}(d \lambda). \end{aligned}$$Меру $F^{(n)}$, определённую на системе борелевских множеств, называют спектральным семиинвариантом, если для всех $t_1 \ldots t_n$$$S^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right)=\int_{\mathbb{R}^n} e^{i(t, \lambda)} F^{(n)}(d \lambda).$$Мера $F^{(n)}$ существует и имеет ограниченную вариацию, если $X(t) \in \Phi^{(n)}$. В случае стационарного процесса $X(t)$ семиинварианты $S^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right)$ инвариантны относительно сдвигов:$$S^{(n)}\left(t_1+\tau, \ldots, t_n+\tau\right)=S^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right),$$а спектральные меры $F^{(n)}$ и $M^{(n)}$ сосредоточены на многообразии $\lambda_1+\ldots+\lambda_n=0$. Если мера $F^{(n)}$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на этом многообразии, то существует спектральная плотность $n$-го порядка $f_n\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\right)$, определяемая равенствами$$\begin{aligned} S^{(n)}\left(t_1 \ldots t_n\right)= & \int_{\mathbb{R}^{n-1}} e^{i\left(\lambda_1\left(t_2-t_1\right)+\ldots+\lambda_{n-1}\left(t_n-t_1\right)\right)} \times \\ & \times f_n\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}\right) d \lambda, \end{aligned}$$верными при всех $t_1 \ldots t_n$. В случае дискретного времени под $\mathbb{R}^{(k)}$ во всех приведённых выше формулах надо понимать $k$-мерный куб $-\pi \leqslant \lambda_1 \leqslant \pi$, $1 \leqslant i \leqslant k$.