Систе́ма Уо́лша функций $\left\{W_n(x)\right\}$ на отрезке $[0,1]$, функции $W_0(x)=1$ и $W_n(x)=r_{\nu_1}(x) \cdot r_{\nu_2}(x) \cdot \ldots\cdot r_{\nu_m}(x)$ при $n \geqslant 1$, где $r_k(x)=\operatorname{sign} \sin 2^{k+1} \pi x$, $k=0, 1,2, \ldots$, – функции Радемахера, $n=2^{\nu_1}+2^{\nu_2}+\ldots+ 2^{\nu_m}$, $\nu_1> \nu_2> \ldots> \nu_m>0$ – двоичное представление числа $n \geqslant 1$. Эта система была определена и исследована Дж. Уолшем (Walsh. 1923), хотя ещё в 1900 г. Баррет использовал функции этой системы в вопросах связи при размещении проводников в открытых проводных линиях. В теории связи более предпочтительным является другое определение системы Уолша. Именно, если

$$W_0^*(x)= \left\{\begin{aligned} 1\,\, & \text { при }\,\, x \in[0,1), \\ 0\,\, & \text { при }\,\, x \in(-\infty, 0) \cup[1, \infty),\end{aligned} \right.$$то функции $W_n^*(x)$ определяются следующими рекуррентными формулами:

$$\begin{gathered} W_{2 j+p}^*(x)=W_j^*(2 x)+(-1)^{j+p} W_j^*(2 x-1), \\ p=0,1; \quad j=0,1,2, \ldots\!\text{.} \end{gathered}$$Системы $\left\{W_n(x)\right\}$ и $\left\{W_n^*(x)\right\}$ отличаются только нумерацией в пачках $2^m \leqslant n \leqslant 2^{m+1}-1$, $m=1,2, \ldots$ Например: $W_{2 m}^*(x)=W_{3 \cdot 2 m-1}(x)$, $W_{2^{m-1}-1}^*(x)=W_{2^m}(x)$, $W_{2^{m+1}-2}(x)=W_{2^m+1}(x)$ и т. д. Номер $k$ функции $W_k^*(x)$ соответствует числу перемен знака этой функции в промежутке $(0,1)$, т. е. является аналогом удвоенной частоты для синусоидальных функций. Система Уолша ортонормирована на отрезке $[0,1]$ и её можно рассматривать как естественное пополнение системы Радемахера.

Системы Уолша образуют коммутативную мультипликативную группу, единичным элементом в которой является функция $W_0(x)$, а обратным к $W_k(x)$ является снова $W_k(x)$.