Сепаратри́са, термин качественной теории дифференциальных уравнений.

1. Сепаратриса в первоначальном смысле слова – траектория $\{S_{t} p\}$ потока $\{S_{t}\}$ на плоскости, стремящаяся (при $t\rightarrow+\infty$ или при $t\rightarrow-\infty)$ к некоторому положению равновесия $p_{0}$, причём сколь угодно близко к ней имеются траектории, которые вначале приближаются к $p_{0}$, как бы «идя вдоль траектории $\left\{S_{t} p\right\}$», а затем отходят от него на некоторое конечное расстояние.

Формально последнее означает существование таких окрестности $U$ точки $p_{0}$, последовательности точек $p_{n} \rightarrow p$ и последовательностей чисел $s_{n}, t_{n}$, что $s_{n} \rightarrow \infty$ (соответственно $s_{n} \rightarrow-\infty$),

$$S_{s_{n}} p_{n} \rightarrow p_{0},\quad S_{t_{n}} p_{n} \notin U,\quad t_{n}>s_{n} \quad\left(t_{n}<s_{n}\right).$$Основной пример – сепаратриса невырожденного (или простого) седла. Для последнего под сепаратрисой может пониматься также его устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие, т. е. (в данном случае) линия, включающая седло и обе траектории, стремящиеся к нему при $t \rightarrow+\infty$ (соответственно при $t\rightarrow-\infty$).

Название «сепаратриса» связано с наблюдением, что сепаратрисы наряду с замкнутыми траекториями делят фазовую плоскость на области с одинаковым поведением траекторий. Это наблюдение может быть строго формализовано (Андронов. 1966; Баутин. 1976). Сепаратрисы могут входить в состав предельных множеств траекторий. Так, траектория может навиваться на «петлю сепаратрисы» – замкнутую кривую, образованную траекторией, стремящейся к одному и тому же седлу как при $t \rightarrow-\infty$, так и при $t \rightarrow \infty$, или на «сепаратрисный контур (цикл)» – замкнутую кривую, состоящую из нескольких сепаратрис, соединяющих сёдла. При малом возмущении из петли сепаратрисы может возникнуть предельный цикл; это один из основных типов бифуркаций для потоков на плоскости (Андронов. 1967; Баутин. 1976).

2. В многомерном случае под сепаратрисами (или сепаратрисными многообразиями) чаще всего понимают устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболического положения равновесия или периодической траектории.

Имеются попытки выделить под названием «сепаратриса» класс траекторий, входящих в множества, которые в некотором смысле «разделяют» траектории с различным поведением. Непосредственное обобщение случая плоскости имело бы ограниченную применимость, поскольку в многомерном случае фазовое пространство, вообще говоря, не разбивается на области, заполненные траекториями с одинаковыми предельными множествами (тогда как на плоскости такая ситуация «типична»). Предложенные формулировки (Hartzman. 1980) являются довольно сложными, и не приходится ожидать полного описания различных типов сепаратрис и составленных из них множеств.