Результа́нт многочле́нов $f(x)$ и $g(x)$, элемент поля $Q$, определяемый формулой$$\tag{1}R(f, g)=a_0^s b_0^n \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^s\left(\alpha_i-\boldsymbol{\beta}_j\right),$$где $Q$ – поле разложения многочлена $f g$, $\alpha_i$, $\beta_j$ – корни многочленов$$f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\ldots+a_n$$и$$g(x)=b_0 x^s+b_1 x^{s-1}+\ldots+b_s$$соответственно. Если $a_0 b_0 \neq 0$, то многочлены тогда и только тогда имеют хотя бы один общий корень, когда их результант равен нулю. Имеет место равенство$$R(g, f)=(-1)^{n s} R(f, g).$$Результант можно записать в любом из следующих видов:$$\tag{2}R(f, g)=a_0^s \prod_{i=1}^n g\left(\alpha_i\right),$$$$\tag{3}R(f, g)=(-1)^{n s} b_0^n \prod_{j=l}^s f\left(\beta_j\right).$$Выражения (1), (2) и (3) неудобны для вычисления результанта, т. к. они содержат корни многочленов. Через коэффициенты многочленов результант можно выразить в виде следующего определителя порядка $n+s$:$$\tag{4}R(f, g)=\left|\begin{array}{cccccccc} a_0 &a_1 &\ldots &a_{n-1} &a_n &\quad &\quad \\ \quad &a_0 &\ldots &\ldots &a_{n-1} &a_n\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \quad &\quad &\quad &a_0 &a_1 &\ldots &a_{n-1} &a_n\\ b_0 &b_1 &\ldots &b_{s-1} &b_s &\quad &\quad\\ \quad &b_0 &\ldots &\ldots &b_{s-1} &b_s &\quad\\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \quad &\quad &\quad &b_0 &b_1 &\ldots &b_{s-1} &b_s \end{array}\right|.$$Этот определитель в первых $s$ строках содержит коэффициенты многочлена $f(x)$, в последних $n$ строках – коэффициенты многочлена $g(x)$, а на свободных местах – нули.

Результант многочленов $f(x)$ и $g(x)$ с числовыми коэффициентами можно представить в виде определителя порядка $n$ (или $s$ ). Для этого находят остаток от деления $x^k g(x)$ на $f(x)$, $k=0,1,2, \ldots, n-1$. Пусть это будет$$a_{k 0}+a_{k 1} x+\ldots+a_{k n-1} x^{n-1}.$$Тогда$$R(f, g)=\left\|\begin{array}{cccc} a_{00} &a_{01} &\ldots &a_{0 n-1} \\ a_{10} &a_{11} &\ldots &a_{1 n-1} \\ \ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ a_{n-10} &a_{n-11} &\ldots &a_{n-1 n-1} \\ \end{array}\right\|.$$Дискриминант $D(f)$ многочлена$$f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1} \ldots a_n,\quad a_0 \neq 0,$$выражается через результант многочлена $f(x)$ и его производной $f^{\prime}(x)$ следующим образом:$$D(f)=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_0^{-1} R\left(f, f^{\prime}\right).$$Применение к решению систем уравнений. Пусть дана система двух алгебраических уравнений с коэффициентами из поля $P$:$$\tag{5}\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0, \\ g(x, y)=0. \end{array}\right.$$Многочлены $f$ и $g$ записывают по степеням $x$:$$\begin{aligned} & f(x, y)=a_0(y) x^k+a_1(y) x^{k-1}+\ldots+a_k(y), \\ & g(x, y)=b_0(y) x^l+b_1(y) x^{l-1}+\ldots+b_l(y) \end{aligned}$$и по формуле (4) вычисляют результант этих многочленов как многочленов от $x$. Получается многочлен, зависящий только от $y$:$$R(f, g)=F(y).$$Говорят, что многочлен $F(y)$ получен путём исключения $x$ из многочленов $f(x, y)$ и $g(x, y)$. Если $x=\alpha$, $y=\beta$ – решение системы (5), то $F(\beta)=0$, и обратно, если $F(\beta)=0$, то или многочлены $f(x, \beta)$, $g(x, \beta)$ имеют общий корень (который надо искать как корень их наибольшего общего делителя), или $a_0(\beta)=b_0(\beta)=0$. Тем самым решение системы (5) сводится к вычислению корней многочлена $F(y)$ и общих корней многочленов $f(x, \beta)$, $g(x, \beta)$ с одним неизвестным.

Аналогично можно решать и системы уравнений с любым числом неизвестных, но эта задача приводит к весьма громоздким вычислениям (см. также статью Теория исключения).