Расшире́ние мо́дуля, любой модуль $X$, содержащий данный модуль $A$ в качестве подмодуля. Обычно, говоря о расширении модуля $A$, фиксируют фактормодуль $X/A$, т. е. расширением модуля $A$ с помощью модуля $B$ называют точную последовательность

$$0\to A\to X\to B\to 0.$$Такой модуль $X$ всегда существует (например, прямая сумма $A$ и $B$), но не определяется модулями $A$ и $B$ однозначно. Как в теории модулей, так и в её приложениях возникает потребность в обозрении всех различных расширений модуля $A$ с помощью $B$. С этой целью в классе всех расширений модуля $A$ с помощью $B$ вводится отношение эквивалентности, а на классах эквивалентных расширений – операция умножения (см. статью Умножение Бэра), относительно которой множество классов эквивалентности расширения модуля $A$ над кольцом $R$ образует абелеву группу $\mathrm{Ext}_R^\prime(A,B)$. Эта конструкция обобщается и на $n$-кратные расширения модуля $A$ с помощью $B$, т. е. на точные последовательности вида

$$0\to A\to X_{n-1}\to\ldots\to X_0\to B\to 0,$$которым соответствует группа $\mathrm{Ext}_R^n(A, B)$. Группы

$$\mathrm{Ext}_R^n(A,B), \quad n=1, 2,\ldots,$$являются производными функторами функтора $\mathrm{Hom}_R(A, B)$ и вычисляются с помощью проективной резольвенты модуля $A$ или инъективной резольвенты модуля $B$. Расширение $X$ модуля $A$ называется существенным, если для любого подмодуля $S$ модуля $X$ из $S\cap A=0$ следует $S=0$. Всякий модуль обладает максимальным существенным расширением, являющимся минимальным инъективным модулем, содержащим данный.