Протоко́л Готтесма́на – Кита́ева – Пре́скилла (ГКП), метод кодирования квантовых систем с конечной размерностью гильбертова пространства (например, кубитов) в другой квантовой системе одной или нескольких частиц (например, осцилляторе) (Gottesman. 2001). Для этого рассматриваются специальные «решётчатые» состояния, которые инвариантны относительно сдвига на фиксированную величину. Данный метод кодирования теоретически позволяет эффективным образом устранять различные ошибки (сдвига), которым могла подвергнуться система.

Протоколы типа ГКП существуют для различных конфигураций кодирующих и кодируемых систем. В общем случае кодируемое логическое подпространство имеет размерность $d,$ а кодируется оно, например, в некотором количестве $n$-бозонных мод. Далее в качестве примера рассматривается один логический кубит, закодированный в одной бозонной моде, т. е. случай $d=2$ и $n=1.$ Чтобы определить код ГКП, вводятся операторы смещения $$\hat{D}(\alpha)=e^{\alpha \hat{a}^{\dagger}-\alpha^* \hat{a }},$$где $\left[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}\right]=1$ – обычные лестничные операторы гармонического осциллятора, $\alpha\in\mathbb C$ – комплексное число. Здесь и далее используются обозначения из работы А. Л. Гримсмо и Ш. Пури (Grimsmo. 2001).

Операторы смещения удовлетворяют свойству $$\hat{D}(\beta) \hat{D}(\alpha) =e^{\left(\beta \alpha^*-\beta^* \alpha\right) / 2} \hat{D} (\alpha+\beta)=e^{\beta \alpha^*-\beta^* \alpha} \hat{D}(\alpha) \hat{D}(\beta).$$Далее вводятся т. н. логические операторы Паули $$\bar{X}=\hat{D}(\alpha), \quad \bar{Z}=\hat{D}(\beta), \quad\beta \alpha^*-\beta^* \alpha=i \pi,\quad\alpha,\beta \in \mathbb{C},$$т. е. операторы смещения антикоммутируют $\bar X\bar Z=- \bar Z\bar X.$ Третий оператор $\bar Y,$ соответствующий оставшейся матрице Паули, имеет вид $\bar{Y}=i \bar{X} \bar{Z}=\hat{D}(\alpha+\beta).$ Аналогично матрицам Паули квадрат этих операторов $$\hat{S}_X=\bar{X}^2=\hat{D}(2 \alpha), \quad \hat{S}_Z=\bar{Z}^2=\hat{D}(2 \beta)$$должен действовать как единичный оператор на некотором логическом кодовом подпространстве (с собственным значением, равным $1$). Данные операторы коммутируют друг с другом и с логическими операторами Паули. Набор операторов $\left\{\hat{S}_X^k, \hat{S}_Z^l\right\}$ для целых $k$ и $l$ является стабилизатором в коде ГКП.

Операторы «координаты» $\hat{Q}$ и «импульса» $\hat{P},$ удовлетворяющие $[\hat{Q}, \hat{P}]=i,$ определяются в виде $$\hat{Q}=i\,\frac{\left(\beta^* \hat{a}-\beta \hat{a}^{\dagger}\right)} {\sqrt{\pi}},\quad \hat{P}= -i\,\frac{\left(\alpha^* \hat{a}-\alpha \hat{a}^{\dagger}\right)}{\sqrt{\pi}},$$и тогда логические операторы выражаются через них следующим образом: $$\bar{X}=e^{-i \sqrt{\pi} \hat{P}}, \quad \bar{Z}=e^{i \sqrt{\pi} \hat{Q}}, \quad \bar{Y}=e^{i \sqrt{\pi}(\hat{Q}-\hat{P})}.$$Можно показать, что логические состояния выражаются в виде бесконечной суммы $$\left|0_L\right\rangle=\sum_{j=-\infty}^{\infty}|2 j \sqrt{\pi}\rangle_{\hat{Q}},\quad \left|1_L\right\rangle=\sum_{j=-\infty}^{\infty}|(2 j+1) \sqrt{\pi}\rangle_{\hat{Q}}$$и являются собственными состояниями $\bar{Z}$ (с собственными значениями, равными $\pm 1$) и собственными состояниями операторов $\hat{S}_X$ и $\hat{S}_Z$ (c собственными значениями, равными $1$). Здесь $|x\rangle_{\hat{O}}$ обозначает собственное состояние оператора $\hat{O}$ с собственным значением $x.$ Данное разложение по сути даёт способ закодировать один кубит в специальном состоянии гармонического осциллятора в виде бесконечной решётки из «точечных всплесков».

Кубитные состояния можно записать через когерентные состояния произвольных операторов смещения $|\gamma\rangle=\hat{D}(\gamma)|0\rangle:$
$$\left|0_L\right\rangle \propto \sum_{k, l=-\infty}^{\infty} e^{-i \pi k l}|2 k \alpha+l \beta\rangle, \quad \left|1_L\right\rangle \propto \sum_{k, l=-\infty}^{\infty} e^{-i \pi(k l+l / 2)}|(2 k+1) \alpha+l \beta\rangle.$$Тогда разные значения $\alpha$ и $\beta$ соответствуют генерации различных решёток с разной симметрией и, соответственно, разным кодам, например $$\alpha=\sqrt{\frac{\pi}{2}}, \quad \beta=i \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$соответствуют квадратной решётке / коду, $$\alpha=\sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{3}}}, \quad \beta=e^{2 i \pi / 3} \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{3}}}$$– гексагональной и т. д.

Кодирование состояний кубита $\left|0_L\right\rangle$ описанным выше образом оказывается устойчивым к небольшим ошибкам сдвига, они могут быть обнаружены и затем исправлены. Пусть было подготовлено произвольное идеальное состояние $|\bar{\psi}\rangle=\alpha\left|0_L\right\rangle+\beta\left|1_L\right\rangle,$ которое для $\hat{S }_{\hat X}$ является собственным с собственным значением $1.$ Однако, если это состояние подвергнется небольшой ошибке сдвига $u,$ собственное значение $\hat{S}_X$ больше не будет в точности равно $1:$$$S_{\hat{X}} e^{-i u \hat{P}}|\bar{\psi}\rangle =e^{i 2 \sqrt{\pi} u} e^{-i u \hat{P}}|\bar{\psi}\rangle.$$Таким образом, собственное значение имеет фазу $2 \sqrt{\pi} u,$ и если можно каким-либо образом оценить эту фазу, то такая ошибка устраняется сдвигом – для этого состояние кода может быть сдвинуто назад.

Для обеспечения нормируемости логических состояний, заданных бесконечной суммой, а также возможности физической реализации таких состояний (т. к. идеализированное логическое состояние соответствует сумме решётки вдоль неограниченной решётки бесконечно узких состояний, сосредоточенных в точке, а следовательно в точности в таком виде реализовано быть не может) необходима некоторая деформация состояний, а именно переход к «размытым» дельта-функциям.