Произво́дная Пеа́но, одно из обобщений понятия производной. Пусть существует $\delta>0$ такое, что для всех $t$ с $|t|<\delta$ имеет место$$f\left(x_0+t\right)=\alpha_0+\alpha_1 t+\ldots+\frac{\alpha_r}{r !} t^r+\gamma(t) t^r,$$где $\alpha_0, \ldots, \alpha_r$ – постоянные и $\gamma(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$. Пусть $\gamma(0)=0$. Тогда число $\alpha_r$ называется обобщённой производной Пеано порядка $r$ функции $f$ в точке $x_0$. Обозначение: $f_r\left(x_0\right)=\alpha_r$, в частности $\alpha_0=f\left(x_0\right)$, $\alpha_1=f^{\prime}\left(x_0\right)$. Если существует $f_{(r)}\left(x_0\right)$, то существует и $f_{(r-1)}\left(x_0\right)$, $r \geqslant 1$. Если существует конечная обычная двусторонняя производная $f^{(r)}\left(x_0\right)$, то $f_{(r)}\left(x_0\right)=f^{(r)}\left(x_0\right)$. Обратное неверно при $r>1$: для функции$$f(x)= \begin{cases}e^{-1 / x^2}, & x \neq 0 \text { и рационально, } \\ 0, & x=0 \text { или иррационально, }\end{cases}$$имеет место $f_{(r)}(0)=0, r=1,2, \ldots$, но не существует $f_{(1)}(x)=f^{\prime}(x)$ при $x \neq 0$ (ибо $f(x)$ разрывна при $x \neq 0$). Следовательно, не существует обычная производная $f^{(r)}(0)$ при $r>1$.

Вводятся также и бесконечные обобщённые производные Пеано. Пусть для всех $t$ с $|t|<\delta$ имеет место$$f\left(x_0+t\right)=\alpha_0+\alpha_1 t+\ldots+\frac{\alpha_{r-1}}{(r-1) !} t^{r-1}+\frac{\alpha_r(t)}{r !} t^r,$$где $\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}$ – постоянные и $\alpha_r(t) \rightarrow \alpha_r$ при $t \rightarrow 0$ ($\alpha_r$ – число или символ $\infty$). Тогда $\alpha_r$ также называется производной Пеано порядка $r$ функции $f$ в точке $x_0$. Введена Дж. Пеано.