Проекти́вное алгебраи́ческое мно́жество, подмножество точек проективного пространства $P^n$, определённого над полем $k$, имеющее (в однородных координатах) вид$$V (I) = \{ {(a _ {0}, \dots, a _ {n}) \in P ^ {n} } \mid {f (a _ {0}, \dots, a _ {n}) = 0 \; \text{ для любого } \ f \in I } \} .$$Здесь $I$ – однородный идеал в кольце многочленов $k [ X _ {0}, \dots, X _ {n} ]$. $($Идеал $I$ однороден, если из $f\in I$ и $f=\sum f_i$, где все $f_i$ – однородные многочлены степени $i$, следует, что все $f_i\in I$.$)$

Свойства проективного алгебраического множества:

1) $V (\sum _ {i \in S } I _ {i}) = \cap _ {i \in S } V (I _ {i})$;

2) $V (I _ {1} \cap I _ {2}) = V (I _ {1}) \cup V (I _ {2})$;

3) если $I _ {1} \subset I _ {2}$, то $V (I _ {2}) \subset V (I _ {1})$;

4) $V (I) = V (\sqrt{I\,}\,)$, где $\sqrt{I\,}$ – радикал идеала $I$.

Из свойств $1)$ – $3)$ следует, что на $V (I)$ можно ввести топологию Зариского. Если $I=\sqrt{I\,}$, то $I$ однозначно представляется в виде пересечения однородных простых идеалов:$$I = \mathfrak B _ {1} \cap \dots \cap \mathfrak B _ {s}$$и$$V (I) = V (\mathfrak B _ {1}) \cup \dots \cup V (\mathfrak B _ {s}) .$$В случае, когда $I$ – однородный простой идеал, проективное алгебраическое множество $V(I)$ называется проективным многообразием.