Преобразова́ние случа́йных величи́н, отыскание функций от каких-либо случайных величин, распределения вероятностей которых обладают заданными свойствами.

Пример 1. Пусть $X$ – случайная величина, имеющая непрерывную и строго возрастающую функцию распределения $F(x)$. Тогда случайная величина $Y=F(X)$ имеет равномерное на отрезке $[0,1]$ распределение, а случайная величина $Z=\Phi^{-1}(F(X))$ (где $\Phi(x)$ – стандартная нормальная функция распределения) имеет нормальное распределение с параметрами $0$ и $1$. Обратно, формула $X=F^{-1}(\Phi(Z))$ позволяет из случайной величины $Z$ со стандартным нормальным распределением получить случайную величину $X$, имеющую заданную функцию распределения $F(x)$.

Преобразование случайных величин часто используются в связи с предельными теоремами теории вероятностей. Пусть, например, последовательность случайных величин $Z_n$ асимптотически нормальна с параметрами $(0,1)$. Ставится задача построения простых (и просто обратимых) функций $f_n$ таких, чтобы случайные величины $V_n=Z_n+f_n\left(Z_n\right)$ были «более нормальны», чем $Z_n$.

Примеp 2. Пусть случайные величины $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ независимы и имеют каждая равномерное распределение на $[-1,1]$ и пусть

$$Z_n=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{\sqrt{n / 3}} \text {. }$$По центральной предельной теореме

$$\mathsf{P}\left\{Z_n<x\right\}-\Phi(x)=O\left(\frac{1}{n}\right) .$$Полагая

$$V_n=Z_n-\frac{1}{20 n}\left(3 Z_n-Z_n^3\right),$$получают

$$\mathsf{P}\left\{V_n<x\right\}-\Phi(x)=O\left(\frac{1}{n^2}\right),$$Примеp 3. Случайные величины $\chi_n^2, \sqrt{2 \chi_n^2}$ и $\left(\chi_n^2 / n\right)^{1 / 3}$ асимптотически нормальны при $n \rightarrow \infty$ (cм. в статье Хи-квадрат распределение). Равномерное отклонение соответствующих функций распределения от их нормальных аппроксимаций становится меньше $0,01$ для $\chi_n^2$ при $n \geqslant 354$, для $\sqrt{2 \chi_n^2}$ (преобразование Фишера) при $n \geqslant 23$, для $\left(\chi_n^2 / n\right)^{1 / 3}$ (преобразование Вилсона – Хилферти) при $n \geqslant 3$ это отклонение не превосходит $0,007$.

Преобразование случайных величин издавна применялись и применяются в задачах математической статистики как основа построения простых асимптотических формул высокой точности. Преобразование случайных величин используют и в теории случайных процессов (например, метод «одного вероятностного пространства»).