Преобразова́ние Лаге́рра, интегральное преобразование вида$$f(n)=T\{F(x)\}=\int_0^{\infty} e^{-x} L_n(x) F(x) d x,\quad n=0,1,2, \ldots,$$где $L_n(x)$ – многочлен Лагерра степени $n$. Формула обращения имеет вид$$T^{-1}\{f(n)\}=F(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f(n) L_n(x),\quad 0<x<\infty,$$если ряд сходится. Если функция $F(x)$ непрерывна, $F^{\prime}(x)$ кусочно непрерывна на $[0, \infty)$ и $F(x)=O\left(e^{a x}\right)$, $x \rightarrow \infty$, $a<1$, то$$\begin{gathered} T\left\{\frac{d F(x)}{d x}\right\}=\sum_{k=0}^n f(k)-F(0),\quad n=0,1,2, \ldots, \\ T\left\{x \frac{d F(x)}{d x}\right\}=-(n+1) f(n+1)+n f(n),\quad n=0,1,2, \ldots\!. \end{gathered}$$Если функции $F(x)$, $F^{\prime}(x)$ непрерывны, $F^{\prime \prime}(x)$ кусочно непрерывна на $[0, \infty)$ и $|F(x)|+\left|F^{\prime}(x)\right|=O\left(e^{a x}\right)$, $x \rightarrow \infty$, $a<1$, то$$T\left\{e^x \frac{d}{d x}\left[x e^{-x} \frac{d F(x)}{d x}\right]\right\}=-n f(n),\quad n=0,1,2, \ldots\!.$$Если $F(x)$ кусочно непрерывна на $[0, \infty)$ и $F(x)=O\left(e^{a x}\right)$, $x \rightarrow \infty$, $a<1$, то для$$\begin{gathered} G(x)=\int_0^x F(t) d t, \\ g(n)=T\left\{\int_0^x F(t) d t\right\}=f(n)-f(n-1), \quad n=1,2, \ldots, \end{gathered}$$и при $n=0$$$g(0)=f(0).$$Пусть функции $F(x)$ и $G(x)$ кусочно непрерывны на $[0, \infty)$ и$$\begin{gathered} |F(x)|+|G(x)|=O\left(e^{a x}\right),\quad x \rightarrow \infty,\quad a<1 / 2, \\ T\{F\}=f(n),\quad T\{G\}=g(n). \end{gathered}$$Тогда$$\begin{gathered} T^{-1}\{f(n) g(n)\} =\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} e^{-t} F(t) \int_0^\pi e^{\sqrt{x t} \cos \theta} \cos (\sqrt{x t} \sin \theta) \times \\ \times G(x+t-2 \sqrt{x t} \cos \theta) \,d \theta \,d t. \end{gathered}$$Обобщённое преобразование Лагерра имеет вид$$\begin{gathered} f_\alpha(n)=T_\alpha\{F(x)\}= \\ =\int_0^{\infty} e^{-x} x^\alpha L_n^\alpha(x) F(x) d x,\quad n=0,1,2, \ldots, \end{gathered}$$где $L_n^\alpha(x)$ – обобщённый многочлен Лагерра (Диткин. 1967).