Преобразование Харди

Преобразова́ние Ха́рди, интегральное преобразование вида $$F(x)=\int_{0}^{\infty} C_{\nu}(xt)tf(t)\,dt,$$где

$$C_{\nu}(z)=\cos p \pi J_{\nu}(z)+\sin p \pi Y_{\nu}(z),$$

$J_{\nu}(z)$, $Y_{\nu}(z)$ – функции Бесселя 1-го и 2-го рода соответственно. При $p=0$ преобразование Харди совпадает с одной из форм преобразования Ганкеля, при $p=1/2$ – с $Y$-преобразованием. Преобразование Харди предложено Г. Харди.

Формула обращения:

$$f(t)=\int_{0}^{\infty} \Phi(tx)xF(x)\,dx,$$где

$$\Phi(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x / 2)^{\nu+2 p+2 n}}{\Gamma(p+n+1) \Gamma(nu+p+n+1)}.$$Преобразование Харди определено также для некоторых классов обобщённых функций.