Преобразование Эйлера

Преобразова́ние Э́йлера, интегральное преобразование вида

$$w(z)=\int_{C}(z-t)^{\alpha} v(t)\,dt,\tag{1}$$где $C$ – контур в комплексной плоскости $t$. Предложено Л. Эйлером в 1769 г.

Преобразование Эйлера применяется к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям

$$L w=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}w^{(j)} \sum_{k=0}^{n-j} C_{n+\beta-j-1}^{n-k-j} Q_{i}^{(n-k-i)}(z)=0,\tag{2}$$где $Q_{j}(z)$ – многочлен степени $\leqslant n-j$ и $\beta$ – константа. В таком виде можно представить любое линейное уравнение

$$P_{n}(z) w^{(n)}+P_{n-1}(z) w^{(n-1)}+\ldots+P_{0}(z) w=0,$$где $P_{j}(z)$ – многочлены степени $\leqslant j$, а степень $P_{n}(z)$ равна $n$. Уравнение $$M v \equiv\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j} (Q_{n-j}(z) v)^{(j)}=0$$называется преобразованием Эйлера уравнения (2). Если $w(z)$ определена формулой (1), причём $\alpha=\beta+n-1$, то справедливо тождество

$$L w=\int_{C}(z-t)^{\alpha} M(v)\,dt$$при условии, что внеинтегральная подстановка, которая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если $M(v)=0$, то $w(z)$ – решение уравнения (2).

Преобразование Эйлера позволяет понизить порядок уравнения (2), если $Q_{j}(z)=0$ при $j>q$, $q<n$. При $q=0$, $q=$1 уравнение (2) интегрируется (см. уравнение Похгаммера).