Термины

Преобразование Эйлера

Преобразова́ние Э́йлера, вида

w(z)=C(zt)αv(t)dt,(1)w(z)=\int_{C}(z-t)^{\alpha} v(t)\,dt,\tag{1}где CC – контур в комплексной плоскости tt. Предложено в 1769 г.

Преобразование Эйлера применяется к линейным

Lw=j=0n(1)jw(j)k=0njCn+βj1nkjQi(nki)(z)=0,(2) L w=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}w^{(j)} \sum_{k=0}^{n-j} C_{n+\beta-j-1}^{n-k-j} Q_{i}^{(n-k-i)}(z)=0,\tag{2}где Qj(z)Q_{j}(z) степени nj\leqslant n-j и β\beta – константа. В таком виде можно представить любое

Pn(z)w(n)+Pn1(z)w(n1)++P0(z)w=0, P_{n}(z) w^{(n)}+P_{n-1}(z) w^{(n-1)}+\ldots+P_{0}(z) w=0, где Pj(z)P_{j}(z) – многочлены степени j\leqslant j, а степень Pn(z)P_{n}(z) равна nn. Уравнение Mvj=0n(1)j(Qnj(z)v)(j)=0M v \equiv\sum_{j=0}^{n}(-1)^{j} (Q_{n-j}(z) v)^{(j)}=0 называется преобразованием Эйлера уравнения (2). Если w(z)w(z) определена формулой (1), причём α=β+n1\alpha=\beta+n-1, то справедливо

Lw=C(zt)αM(v)dt L w=\int_{C}(z-t)^{\alpha} M(v)\,dtпри условии, что внеинтегральная подстановка, которая возникает при интегрировании по частям, обращается в нуль. Отсюда видно, что если M(v)=0M(v)=0, то w(z)w(z) – решение уравнения (2).

Преобразование Эйлера позволяет понизить порядок уравнения (2), если Qj(z)=0Q_{j}(z)=0 при j>qj>q, q<nq<n. При q=0q=0, q=q=1 уравнение (2) интегрируется (см. ).

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Дифференциальные уравнения