Преобразова́ние Боре́ля, интегральное преобразование вида

$$\gamma(t)=\int_0^{\infty} f(z) e^{-z t} d z,$$где $f(z)$ – целая функция экспоненциального типа. Преобразование Бореля есть частный случай преобразования Лапласа. Функция $\gamma(t)$ называется ассоциированной функцией (по Борелю) с $f(z)$. Если

$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n !} z^n,$$тo

$$\gamma(t)=\sum_{\nu=0}^{\infty} a_\nu t^{-(\nu+1)};$$ряд сходится при $|t|>\sigma$, где $\sigma$ – тип функции $f(z)$. Пусть $\bar{D}$ – наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все особенности функции $\gamma(t)$,

$$K(\varphi)=\max _{z \in \bar{D}} \operatorname{Re}\left(z e^{-i \varphi}\right)$$– опорная функция множества $\bar{D}$ и $h(\varphi)$ – индикатриса роста функции $f(z)$. Тогда $K(\varphi)=h(-\varphi)$. Если интегрирование в преобразование Бореля происходит по лучу $\arg z=\varphi$, то соответствующий интеграл сходится в полуплоскости $x \cos \varphi+y \sin \varphi>K(-\varphi)$. Пусть $C$ – замкнутый контур, охватывающий $\bar{D}$. Тогда

$$f(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_C \gamma(t) e^{z t} d t .$$При дополнительных условиях из этой формулы могут быть выведены и другие представления. Так, пусть имеется класс целых функций $f(z)$ экспоненциального типа $\leqslant \sigma$, для которых

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 d x<\infty .$$Этот класс совпадает с классом функций $f(z)$, допускающих представление

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\sigma}^\sigma e^{i z t} \varphi(t) d t,$$где $\varphi(t) \in L^2(-\sigma, \sigma)$.