Представле́ние симметри́ческой гру́ппы, линейное представление группы $S_m$ над каким-либо полем $K$. Если $\text{char }K=0$, то все конечномерные представления симметрической группы вполне приводимы и определены над $\mathbb{Q}$ (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над $\mathbb{Q}$ абсолютно неприводимы).

Неприводимые конечномерные представления группы $S_m$ над $\mathbb{Q}$ классифицируются следующим образом. Пусть $d$ – какая-либо диаграмма Юнга, отвечающая разбиению $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)$ числа $m$, $R_d$ (соответственно $C_d$) – подгруппа группы $S_m$, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел $1, 2,\ldots, m$ в число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы $d$. Тогда

$$R_d\simeq S_{\lambda_1}\times \ldots \times S_{\lambda_r}$$и

$$C_d\simeq S_{\lambda_1^\prime}\times\ldots\times S_{\lambda_S^\prime},$$где $\lambda^\prime=(\lambda_1^\prime,\ldots,\lambda_S^\prime)$ – разбиение числа $m$, сопряжённое к разбиению $\lambda$. Существует единственное неприводимое представление $T_\lambda : S_m\to GL(U_\lambda)$ группы $S_m$ (зависящее только от $\lambda$) со следующими свойствами: 1) в пространстве $U_\lambda$ имеется такой ненулевой вектор $u_d$, что $T_\lambda (g)u_d=u_d$ для любого $g\in R_d$; 2) в пространстве $U_\lambda$ имеется такой ненулевой вектор $u_d^\prime$, что $T_\lambda (g)u_d^\prime=\varepsilon(g)u_d^\prime$ для любого $g\in C_d$, где $\varepsilon(g)=\pm 1$ – чётность подстановки $g$. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы $S_m$ над $\mathbb{Q}$.

Векторы $u_d$ и $u_d^\prime$ определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению $\lambda$, эти векторы нормируются таким образом, что $gu_d=u_{gd}$ и $gu_d^\prime=u_{gd}^\prime$ для любого $g\in S_m$, где $gd$ обозначает диаграмму, получаемую из $d$ применением ко всем числам подстановки $g$. Векторы $u_d$ (соответственно $u_d^\prime$), соответствующие стандартным диаграммам $d$, образуют базис пространства $U_\lambda$; в этом базисе операторы представления записываются целочисленными матрицами. Размерность представления $T_\lambda$ равна

$$\dim T_\lambda = \frac{m! \prod_{i<j} (l_i-l_j)}{\prod_il_i!}=\frac{m^\prime}{\prod_{(i,j)}\lambda_{ij}},$$где $l_i=\lambda_i+r-i$ ($i=1,\ldots, r$), а произведение в знаменателе второго выражения берётся по всем клеткам $c_{ij}$ таблицы Юнга $t_\lambda$, причём $\lambda_{ij}$ обозначает длину соответствующего крюка.

Разбиению $(m)$ отвечает тривиальное одномерное представление группы $S_m$, а разбиению $(1,\ldots,1)$ – нетривиальное одномерное представление $\varepsilon$ (чётность). Разбиению $\lambda^\prime$, сопряжённому к $\lambda$, отвечает представление $\varepsilon T_\lambda$. Пространство $U_{\lambda^\prime}$, каноническим образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством $U_\lambda$ так, что $T_{\lambda^\prime} (g)=\varepsilon (g)T_\lambda (g)$ для любого $g\in S_m$; при этом можно считать, что $u_d^\prime=u_{d^\prime}$, где $d^\prime$ – диаграмма, получаемая из $d$ транспонированием.

Построение полной системы неприводимых представлений симметрических групп производится с помощью симметризаторов Юнга, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если $d$ – диаграмма Юнга, отвечающая разбиению $\lambda$, то представление $T_\lambda$ эквивалентно представлению симметрической группы $S_m$ в левом идеале групповой алгебры $\mathbb{Q}S_m$, порождённом симметризатором Юнга $e_d$. Апостериорное описание элемента $e_d$ состоит в следующем: $T_\mu(e_d)=0$ при $\mu\ne\lambda$, а $T_\lambda(e_d)$ – оператор ранга $1$, действующий по формуле $T_\lambda (e_d)u=(u_d,u)u_d^\prime$ для любого $u\in U_\lambda$, где $(\quad,\quad)$ – подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве $U_\lambda$. При этом

$$(u_d,u_d^\prime)=\frac{m!}{\dim U_\lambda}.$$Производящая функция для характеров представлений $T_\lambda$ даётся формулой Фробениуса. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана – Накаямы: пусть $a_{\lambda\mu}=a_{\lambda\mu}^{(m)}$ – значение характера представления $T_\lambda$ на классе $[\mu]$ сопряжённых элементов группы $S_m$, определённом разбиением $\mu$ числа $m$, и пусть разбиение $\mu$ содержит число $p$. Через $\bar\mu$ обозначается разбиение числа $m-p$, получаемое из $\mu$ выбрасыванием числа $p$. Тогда

$$a_{\lambda\mu}^{(m)}=\sum_{\bar\lambda}(-1)^{i(\bar\lambda)} a_{\bar{\mathstrut \lambda}\bar{\mathstrut \mu}}^{(m-p)},$$где сумма берётся по всем разбиениям $\bar{\lambda}$ числа $m-p$, получаемым удалением косого крюка длины $p$ из таблицы Юнга $t_\lambda$, а $i(\bar{\lambda})$ обозначает высоту удалённого косого крюка.

Имеется также метод (см. Джеймс. 1982), позволяющий найти целиком таблицу характеров группы $S_m$, т. е. матрицу $A=\|a_{\lambda\mu}\|$. Пусть $M_\lambda$ есть представление симметрической группы $S_m$, индуцированное тривиальным одномерным представлением подгруппы $R_\lambda=R_d$, где $d$ – диаграмма Юнга, отвечающая разбиению $\lambda$. И пусть $M_\lambda=\sum_\mu m_{\lambda\mu}T_\mu$, a $M=\|m_{\lambda\mu}\|$. Если считать, что строки и столбцы матрицы расположены в порядке лексикографического убывания индексов (разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали. Значение характера представления $M_\lambda$ на классе $[\mu]$ равно

$$b_{\lambda\mu}=\frac{c_\mu |R_\lambda \cap[\mu]|}{|R_\lambda|},$$где $c_\mu$ – порядок централизатора подстановки из класса $[\mu]$. Матрица $B=\| b_{\lambda\mu}\|$ является верхней треугольной, и имеет место соотношение $MM^T=BC^{-1}B^T$, где $C=\text{diag }(c_\mu)$, из которого однозначно определяется матрица $M$. После этого матрица $A$ находится по формуле

$$A = M^{-1}B.$$Ограничение представления $T_\lambda$ группы $S_m$ на подгруппу $S_{m-1}$ находится по правилу ветвления:

$$T_\lambda \mid S_{m-1}=\sum_iT_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_i-1,\ldots,\lambda_r)},$$где суммирование распространяется на те $i$, для которых $\lambda_i>\lambda_{i+1}$ (включая $r$). Ограничение представления $T_\lambda$ на подгруппу $A_m$ при $\lambda\ne\lambda^\prime$ абсолютно неприводимо, а при $\lambda=\lambda^\prime$ распадается над квадратичным расширением поля $\mathbb{Q}$ в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. Получаемые таким образом представления группы $A_m$ исчерпывают все её неприводимые представления над $\mathbb{C}$.

О представлении симметрических групп в тензорах см. в ст. Представления классических групп.

Разработана также теория модулярных представлений симметрических групп (см., например, Джеймс. 1982).