После́дняя теоре́ма Пуанкаре́, пусть $K$ – кольцо на плоскости, ограниченное окружностями с радиусами $r=a$ и $r=b$, и дано отображение его в себя ($\theta$ – полярный угол)

$$\tilde{r}=\varphi(r,\theta),\quad \tilde{\theta}=\psi(r,\theta),$$удовлетворяющее условиям: 1) отображение сохраняет площадь; 2) каждая граничная окружность переходит в себя $\varphi(a, \theta)=a$, $\varphi(b, \theta)=b$; 3) точки с $r=a$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$ – по часовой стрелке, т. е. $\psi(a, \theta)>\theta$, $\psi(b, \theta)<\theta$. Тогда это отображение имеет 2 неподвижные точки. Вместо сохранения площади, более общо, можно потребовать, чтобы никакая подобласть не преобразовывалась в свою (собственную) часть.

Эта теорема высказана А. Пуанкаре (Poincaré. 1912) в связи с некоторыми задачами небесной механики; доказана им в ряде частных случаев, однако общего доказательства этой теоремы он не получил. Работа была послана А. Пуанкаре в итальянский журнал (Poincare. 1912) за 2 недели до смерти, причём автор в сопроводительном письме редактору выразил уверенность в справедливости теоремы в общем случае.

Полное доказательство дал через полгода Дж. Биркгоф (Birkhoff. 1913).