Полугеодези́ческие координа́ты (геодезические нормальные координаты), координаты $x^1, \ldots, x^n$ в $n$-мерном римановом пространстве, характеризующиеся тем, что координатные линии, соответствующие $x^1$, являются геодезическими линиями, на которых $x^1$ играет роль нормального параметра, а координатные поверхности $x^1= \operatorname{const}$ – ортогональны этим геодезическим. В полугеодезических координатах квадрат линейного элемента имеет вид

$$d s^2=\left(d x^1\right)^2+\sum_{i, j=2}^n g_{i j}\, d x^i\, d x^j .$$Полугеодезические координаты можно ввести в достаточно малой окрестности любой точки произвольного риманова пространства. В двумерных римановых пространствах в ряде случаев (например, для регулярных поверхностей строго отрицательной кривизны) возможно введение полугеодезических координат в целом.

В двумерном случае квадрат линейного элемента в полугеодезических координатах принято записывать в виде

$$d s^2=d u^2+B^2(u, v) d v^2.$$Полная (гауссова) кривизна может быть найдена по формуле:

$$K=-\frac{1}{B} \frac{\partial^2 B}{\partial u^2}.$$При изучении двумерных римановых многообразий знакоопределённой кривизны важную роль играют специальные полугеодезические координаты – геодезические полярные координаты $(r, \varphi)$. В этом случае все координатные геодезические линии $\varphi= \operatorname{const}$ пересекаются в одной точке (полюсе), а $\varphi$ является углом между координатными линиями $v=0$ и $\varphi=\operatorname{const}$. Линия $r= \operatorname{const}$ называется геодезической окружностью. Квадрат линейного элемента в окрестности полюса в геодезических полярных координатах имеет вид

$$\begin{gathered} d s^2=d r^2+r^2\left\{1-\frac{K_0}{3} r^2-\right. \\ \left.-\frac{1}{6}\left(K_1 \cos \varphi+K_2 \sin \varphi\right) r^3+o\left(r^3\right)\right\} d \varphi^2, \end{gathered}$$где $K_0$ – полная (гауссова) кривизна в точке $P$, $K_1$ – производная от $K$ по $r$ в точке $P$ в направлении геодезической $\varphi=0$, $K_2$ – такая же производная в направлении геодезической $\varphi=\pi / 2$.

При определении полугеодезических координат в псевдоримановом пространстве часто требуется, чтобы геодезические, соответствующие $x^1$, не были изотропными. В этом случае квадрат линейного элемента имеет вид

$$d s^2= \pm\left(d x^1\right)^2+\sum_{i, j=2}^n g_{i j}\, d x^i \,d x^j$$(знак $+$ или $-$ выбирается в зависимости от знака квадрата интервала касательного вектора к линии $x^{1}$).