Опера́тор Кальдеро́на – Зи́гмунда, оператор $K$, определяемый на достаточно гладких финитных функциях $\varphi(x)$, заданных в евклидовом пространстве $\mathbb R^n$, формулой

$$K\varphi(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{|x-y|>\varepsilon}k(x-y)\varphi(y)\,dy,$$где ядро $k(x)$ – однородная функция степени $n$ с нулевым средним значением по единичной сфере $S=\{x:x\in\mathbb{R}^n,\ |x|=1\}$. Ядро $k(x)$ имеет вид

$$k(x) = \Omega(x)/|x|^n,$$где функция $\Omega(x)$ – характеристика $k(x)$ – удовлетворяет условиям

$$\tag{*}\begin{gathered} \Omega(tx)=\Omega(x)\text{ при }t>0,\quad \Omega(x)\in L_1(S),\\ \int\limits_S\Omega(x)\,dS=0. \end{gathered}$$Преобразование оператором Кальдерона – Зигмунда записывают часто в виде

$$K\varphi(x)=\mathrm{v.\,p.}\int\limits_{\mathbb{R}^n}\phi(y)\frac{\Omega(x-y)}{|x-y|^n}\,dy;$$при этом интеграл понимается в смысле главного значения. В одномерном случае оператор Кальдерона – Зигмунда превращается в оператор Гильберта $H$:

$$H\varphi(x)=\mathrm{v.\,p.}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(t)}{x-t}\,dt.$$Оператор Кальдерона – Зигмунда по непрерывности расширяется на пространство $L_p(\mathbb{R}^n)$ функций $f(x)$, суммируемых в степени $p$, $1<p<\infty$, по $\mathbb R^n$, и непрерывно отображает это пространство в себя. Если функция $\Omega(x)$ удовлетворяет условиям $({}^{\textstyle{*}})$ и, кроме того, условию Дини:

$$\begin{gathered} \int\limits_0^1\frac{\omega(t)}{t}\,dt<\infty,\quad \omega(t)=\sup_{\begin{subarray}{c} |x-x'|\leqslant t,\\|x|=|x'|=1\end{subarray}} |\Omega(x)-\Omega(x')|;\\ K_\varepsilon f(x)=\int\limits_{|y|>\varepsilon}\frac{\Omega(y)}{|y|^n}f(x-y)\,dy \end{gathered}$$для $1<p<\infty$ и $f\in L_p(\mathbb{R}^n)$, то:
а) существует постоянная $A_p$ (не зависящая от $f$ и $\varepsilon$), такая, что

$$\Vert K_\varepsilon f\Vert_{L_p}\leqslant A_p\Vert f\Vert_{L_p};$$б) предел $\lim\limits_{\varepsilon\to 0} K_\varepsilon f=Kf$ существует в смысле сходимости в $L_p$, и

$$\Vert Kf\Vert_{L_p}\leqslant A_p\Vert f\Vert_{L_p}.$$Оператор Кальдерона – Зигмунда рассмотрен А. Кальдероном и А. Зигмундом (Calderón. 1952).