Многообра́зие групп, класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений

$$v\left(x_1, \ldots, x_n\right)=1,$$где $v$ пробегает некоторое множество $V$ групповых слов, т. е. элементов свободной группы $X$ со свободными образующими $x_1, \ldots, x_n, \ldots$. Как и всякое многообразие алгебраических систем, многообразие групп может быть определено также замкнутостью относительно подсистем (подгрупп), гомоморфных образов и декартовых произведений. Наименьшее многообразие, содержащее данный класс $\mathfrak{G}$ групп, обозначается $\operatorname{var}\mathfrak{G}$. Относительно операций пересечения многообразий и объединения многообразий, определяемого формулой

$$\mathfrak{U} \vee \mathfrak{B}=\operatorname{var}(\mathfrak{U} \cup \mathfrak{B}),$$многообразия групп образуют полную модулярную, но не дистрибутивную решётку. Произведение $\mathfrak{U} \mathfrak{B}$ многообразий $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ определяется как многообразие групп, состоящее из всех групп $G$, обладающих нормальной подгруппой $N \in \mathfrak{U}$ такой, что $G / N \in \mathfrak{B}$. Каждое многообразие групп, отличное от многообразия единичных групп и многообразия всех групп, однозначно представимо в виде произведения далее неразложимыx многообразий групп.

Примеры многообразий групп: многообразие $\mathfrak{A}$ всех абелевых групп, бернсайдово многообразие $\mathfrak{B}_n$ всех групп экспоненты (показателя) $n$, определяемое тождеством $x^n=1$, многообразие $\mathfrak{A}_n=\mathfrak{B}_n \wedge \mathfrak{A}$, многообразие $\mathfrak{R}_c$ всех нильпотентных групп класса $\leqslant c$, многообразие $\mathfrak{A}^l$ всех разрешимых групп длины $\leqslant l$, в частности при $l=2$, $\mathfrak{A}^2$ – многообразие метабелевых групп.

Пусть $\mathscr{P}$ – некоторое свойство групп. Говорят, что многообразие групп $\mathfrak{B}$ обладает свойством $\mathscr{P}$ (локально обладает свойством $\mathscr{P}$), если каждая группа из $\mathfrak{B}$ (каждая конечно порождённая группа из $\mathfrak{B}$) обладает свойством $\mathscr{P}$. Именно в этом смысле говорят, что многообразие нильпотентное, локально нильпотентное, локально конечное и т. д.

Свойства разрешимого многообразия групп $\mathfrak{B}$ зависят от $\mathfrak{B} \wedge \mathfrak{A}^2$. Так, если $\mathfrak{B} \not\supseteq \mathfrak{A}^2$, то $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{B}_n \mathfrak{R}_c \mathfrak{B}_n$ при некоторых подходящих $n$ и $c$ (Каргаполов. 1971; Groves. 1972). Описание метабелевых многообразий групп в значительной степени сводится к описанию локально конечных многообразий групп: если метабелево многообразие $\mathfrak{B}$ не локально конечно, то

$$\mathfrak{B}=\mathfrak{B}_1 \vee \mathfrak{B}_2 \vee \mathfrak{B}_3,$$где $\mathfrak{B}_1=\mathfrak{A}_m \mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}_2$ однозначно представимо в виде объединения конечного числа многообразий групп вида $\mathfrak{R}_c \mathfrak{A}_k \wedge \mathfrak{A}^2$, $\mathfrak{B}_3$ локально конечно (Bryce. 1970). Некоторые локально конечные метабелевые многообразия описаны, например многообразия $p$-групп класса $\leqslant p+1$ (Brisley. 1971).

Многообразие групп называется кроссовым, если оно порождается конечной группой. Кроссовы многообразия групп локально конечны. Многообразие групп называется почти кроссовым, если оно не кроссово, но всякое его собственное подмногообразие кроссово. Разрешимые почти кроссовы многообразия исчерпываются многообразиями $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_p^2$, $\mathfrak{A}_p \mathfrak{A}_q \mathfrak{A}_r$, $\mathfrak{A}_p \mathfrak{T}_q$, где $p, q, r$ – различные простые числа, $\mathfrak{T}_q=\mathfrak{B}_q \wedge \mathfrak{R}_2$ при нечётном $q$ и $\mathfrak{T}_2=\mathfrak{B}_4 \wedge \mathfrak{R}_2$ (см. Ольшанский. 1971). Существуют, однако, другие почти кроссовы многообразия; такие, например, содержатся во всяком многообразии $\mathfrak{K}$ всех локально конечных групп экспоненты $p \geqslant 5$ (см. Размыслов. 1971). В изучении локально конечных многообразий групп важную роль играют критические группы – конечные группы, не лежащие в многообразии, порождённом всеми их собственными подгруппами и факторгруппами. В кроссовом многообразии может содержаться лишь конечное число неизоморфных критических групп. Всякое локально конечное многообразие порождается своими критическими группами.

Многообразие групп называется конечно базируемым, если оно может быть задано конечным числом тождеств. Таковы, например, все кроссовы, нильпотентные и метабелевы многообразия. Доказано (Ольшанский. 1970) существование не конечно базируемых многообразий групп и континуальность количества всех многообразий групп. Примеры бесконечных независимых систем тождеств приведены в (Адян. 1975). Произведение конечно базируемых многообразий групп не обязано быть конечно базируемым, в частности $\mathfrak{B}_4 \mathfrak{B}_2$ не имеет конечного базиса.

Многообразие групп называется многообразием лиевского типа, если оно порождается своими нильпотентными группами без кручения. Если, кроме того, факторы нижнего центрального ряда свободных групп многообразия – группы без кручения, то многообразие называется магнусовым. Класс многообразий лиевского типа не совпадает с классом магнусовых многообразий; каждый из них замкнут относительно операции умножения многообразий (Шмелькин. 1973). Магнусовыми являются, например, многообразие всех групп, многообразия $\mathfrak{R}_c$, $\mathfrak{A}^n$ и многообразия, получающиеся из многообразий $\mathfrak{R}_c$ с помощью применения в конечном числе операций пересечения и умножения (Горчаков. 1969).