Ме́тод квазисре́дних, конструктивная схема исследования систем со спонтанным нарушением симметрии, основанная на фундаментальной концепции квазисредних (Боголюбов. 1971).

Квазисредние – термодинамические (в статистической механике) или вакуумные (в квантовой теории поля) средние от динамических величин в специальным образом модифицированной процедуре усреднения, позволяющей учесть эффекты влияния вырождения состояния системы.

В статистической механике при спонтанном нарушении симметрии на основе метода квазисредних могут быть описаны макроскопические наблюдаемые в рамках микроскопического подхода.

В задачах с вырождением одному уровню энергии отвечает более одного независимого состояния системы; среднее же значение $(A)$ любой динамической величины $A$ определённо однозначно:

$$\langle A\rangle_H=\frac{\operatorname{Tr}\left(A e^{-\beta H}\right)}{\operatorname{Tr} e^{-\beta H}}, \tag{1}$$где $H$ – гамильтониан системы, ${\beta}$ – обратная температура. Если состояние статистического равновесия системы обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан системы (т. н. спонтанное нарушение симметрии, см. Статистическая физика и квантовая теория поля. 1973; Гриб. 1970; Боголюбов. (мл.) 1974; 1975), то операцию усреднения (1) необходимо дополнить правилом, запрещающим «лишнее» усреднение по различным значениям рассматриваемой макроскопической величины, изменение которой не сопровождается изменением энергии.

Это достигается введением квазисредних, т. е. средних по гамильтониану, дополненному бесконечно малыми членами, нарушающими аддитивные законы сохранения. Термодинамические средние могут оказаться неустойчивыми по отношению к такому изменению исходного гамильтониана, что и свидетельствует о вырождении состояния статистического равновесия.

Итак, квазисреднее $\langle A\rangle$ динамической величины $A$ для системы с гамильтонианом $H$ определяется как предел

$$\langle A\rangle_H=\lim _{\nu \rightarrow 0} \lim _{V \rightarrow \infty}\langle A\rangle_{H_\nu}^{(V)}, \tag{2}$$где через $\langle\ldots\rangle_{H_\nu}$ обозначено обычное среднее, взятое по гамильтониану $H_\nu$, содержащему малые нарушающие симметрию члены, вводимые параметром включения $\nu$, исчезающие при $\nu \rightarrow 0$. Согласно определению (2), обычное термодинамическое среднее получается дополнительным усреднением квазисреднего по группе нарушенной симметрии.

Значение квазисреднего (2) может зависеть от конкретной структуры добавочного члена $\Delta H=H_\nu -H$, если усредняемая динамическая величина $A$ неинвариантна относительно группы симметрии исходного гамильтониана $H$. При стремлении параметров включения источников $\nu$ к нулю произвольным образом предел обычных средних (2) для вырожденного состояния не существует. Для полного определения квазисредних необходимо указать способ стремления этих параметров к нулю, обеспечивающий сходимость (см., например, Боголюбов. 1975). С другой стороны, для снятия вырождения достаточно нарушить при построении $H_\nu$ лишь те аддитивные законы сохранения, «выключение» которых приводит к неустойчивости обычных средних. При этом для квазисредних не будут выполняться именно те правила отбора корреляционных функций, которые обусловлены указанными законами сохранения.

Метод квазисредних непосредственно связан с принципом ослабления корреляции (см. Ахиезер. 1977, Престон. 1977): корреляционные функции

$$\left\langle U_1\left(x_1, t_1\right) \ldots U_s\left(x_s, t_s\right) \ldots U_n\left(x_n, t_n\right)\right\rangle, \tag{3}$$где $U_s\left(x_s, t_s\right)$ – полевые функции в представлении Гейзенберга $\Psi\left(x_s, t_s\right)$ или $\Psi^+\left(x_s, t_s\right)$, распадаются на произведение

$$\begin{gathered} \left\langle U_1\left(x_1, t_1\right) \ldots U_{s-1}\left(x_{s-1}, t_{s-1}\right)\right\rangle\times \\ \times\left\langle U_s\left(x_s, t_s\right) \ldots U_n\left(x_n, t_n\right)\right\rangle, \end{gathered}$$если совокупность точек $x_1, \ldots, x_{s-1}$ бесконечно удаляется от совокупности точек $x_s, \ldots, x_n$ при фиксированных временных переменных $t_1, t_2, \ldots, t_n$. В случае вырождения рассматриваемого состояния выражения $\langle\ldots\rangle$, входящие в эту формулировку, с необходимостью должны пониматься как квазисредние: приведённая выше формулировка принципа ослабления корреляций становится прямо неверной, если считать $\langle\ldots\rangle$ обычными средними.

Для построения неравновесного статистического оператора рассматриваются бесконечно малые возмущения, нарушающие симметрию (уравнения Лиувилля) относительно обращения времени. Применение этой операции эквивалентно отбору запаздывающих решений уравнения Лиувилля (см. Рюэль. 1971).

Вопросы о выборе способа стремления параметров включения источников $\nu$ к нулю, обеспечивающего сходимость обычных средних в определении квазисредних (2), рассмотрены в рамках метода аппроксимирующих гамильтонианов, где исходный гамильтониан заменяется на специальным образом конструируемый путём замены динамических величин, коммутирующих со всей алгеброй локальных наблюдаемых в пределе большой системы, на c-числа, т. н. аппроксимирующий гамильтониан, так что этот последний гамильтониан является много проще исходного (и в широком ряде физически важных случаев допускается точное решение) и является ему эквивалентным при $V \rightarrow \infty$ (см. Рюэль. 1971). При построении добавочного члена $\Delta H$ следует взять его пропорциональным решениям в общем случае минимаксной задачи для предельной $(V \rightarrow \infty)$ функции свободной энергии аппроксимирующего гамильтониана. Тогда произвольная последовательность вещественных положительных $\nu$, сходящаяся к нулю, обеспечивает сходимость в определении (2), при этом таким образом построенные квазисредние оказываются равными соответствующим решениям указанной минимаксной задачи.

В рамках метода аппроксимирующих гамильтонианов указан другой альтернативный способ определения квазисредних без введения дополнительных членов в гамильтониан $H$. В этом подходе при вычислении квазисреднего $\langle A\rangle_H$ рассматриваемая динамическая величина ${A}$ домножается на некоторый, в определённом смысле стремящийся к единице при $V \rightarrow \infty$, множитель $L$, гамильтониан $H$ остаётся неизменным (Боголюбов. 1975):

$$\langle A\rangle_H=\lim \langle A \cdot L\rangle.$$Квазисредние, определённые согласно (2) и (5), совпадают.

Математический аппарат метода квазисредних включает теорему Боголюбова об особенностях типа $1 / q^2$ и неравенства Боголюбова для функций Грина и корреляционных функций; содержит в себе алгоритмы установления нетривиальных оценок для равновесия квазисредних, позволяющих исследовать проблему упорядочения в статистических системах и выяснять структуру энергетического спектра низколежащих возбуждённых состояний (см. Боголюбов. 1975; Ахиезер. 1977).

Концепция квазисредних непосредственно связана с теорией фазовых переходов (см. Браут. 1967; Рюэль. 1971; Престон. 1977): неустойчивость термодинамических средних по отношению к возмущениям гамильтониана, нарушающим инвариантность относительно некоторой группы преобразований, означает, что в системе происходит переход в экстремальное состояние.

В квантовой теории поля для ряда модельных систем доказано наличие фазового перехода и установлена справедливость теоремы Боголюбова об особенностях типа $1 / q^2$; исследована возможность локальной неустойчивости вакуума и появления у него доменной структуры.