Логарифми́ческие шка́лы, шкалы измерений, получаемые путём логарифмического преобразования (логарифмирования) измеряемой величины. Для построения логарифмических шкал обычно используются десятичные или натуральные логарифмы, а также логарифмы по основанию два.

Шкалы разностей (интервалов), шкалы отношений и абсолютные шкалы допускают логарифмическое преобразование, часто применяемое на практике.

Операция логарифмирования может быть применена только к безразмерным (безразмерностным) величинам. Поэтому перед логарифмированием размерную величину преобразуют в безразмерную путём её деления на принятое по соглашению произвольное или опорное значение той же величины. Затем вычисляют логарифм полученной безразмерной величины. Логарифмировать значения порядковых величин, измеряемых по шкалам порядка бессмысленно.

Виды логарифмических шкал

В зависимости от типа шкалы, подвергнутой логарифмическому преобразованию, логарифмические шкалы подразделяют на два вида: логарифмические абсолютные шкалы и логарифмические шкалы разностей.

Логарифмические абсолютные шкалы – логарифмические шкалы, получаемые логарифмическим преобразованием $L=\log X$ безразмерной величины $X$, описываемой абсолютной шкалой. Другое наименование этой разновидности шкал – логарифмические шкалы с плавающим нулём. Логарифмическая единица (число 1 в логарифмической шкале) может иметь специальное наименование. Например, логарифмической единице при основании 10 присвоены наименования бел (обозначение Б) или декада (для интервалов частот).

Логически операция логарифмирования может быть прямо применена только к относительным величинам, измеряемым по абсолютным шкалам. Для некоторых относительных величин имеет смысл умножение (деление) их значений, которому соответствует сложение (вычитание) их логарифмов. Разности двух логарифмических значений величины соответствует отношение значений этих двух относительных величин, сумме – произведение.

Примеры логарифмических шкал с плавающим нулём:

• шкалы коэффициентов усиления с единицей измерений децибел;

• шкалы коэффициентов ослабления (экстинкции) с единицей измерений децибел;

• шкала оптической плотности.

Логарифмические шкалы разностей – логарифмические шкалы с фиксированным нулём, получаемые при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, т. е. шкалы, определяемые зависимостью $L=\log(X/X_0)$, где $X$ – измеряемое значение, а $X_0$ – принятое по соглашению опорное значение преобразуемой величины. Выбор опорного значения $X_0$ определяет условный нуль логарифмической шкалы разностей, наличие которого предопределяет особенности математических операций со значениями величин в таких шкалах, часто называемых уровнями величин.

Сложение уровней аддитивной величины неуместно, т. к. сумме логарифмов значений величины соответствует лишённое смысла произведение значений аддитивной величины. Интервалу значений уровня величины (результату вычитания уровней) в таких шкалах соответствует отношение соответствующих значений пропорциональной или аддитивной величины. На это отношение не влияет размер опорного значения шкалы.

Примеры логарифмических шкал с фиксированным нулём:

• шкалы уровней радиоэлектронных сигналов (для мощности, напряжения и т. д. в качестве опорных значений принимают соответственно 1 мВт, 1 В, 1 мкВ и др.);

• шкалы уровней звукового давления (в акустике принято опорное значение 20 мкПа);

• шкала водородного показателя рН водных растворов (взятого с обратным знаком десятичного логарифма активности ионов водорода с опорным значением 1г‧моль/л);

• шкала гармонической высоты музыкального тона;

• шкалы звёздных величин;

• шкалы измерений количества информации с логарифмическими единицами шеннон, хартли, нат.

Логарифмические единицы измерений

Логарифмическая единица шкалы с фиксированным нулём – равный числу 1 логарифм (по определённому основанию) значения отношения пропорциональной или аддитивной величины к установленному опорному значению этой величины. Логарифмическая единица шкалы с фиксированным нулём определяется числовым значением используемого основания логарифмов и выбранным опорным значением измеряемой величины.

В зависимости от использованных систем логарифмирования и особенностей логарифмируемых величин логарифмическим единицам присвоены различные наименования: бел, децибел, непер, шеннон, хартли, нат, октава, декада, савар, мел, фон и др.

Международным стандартом (ГОСТ Р МЭК 60027-3-2016) установлены обозначения и правила использования логарифмических единиц измерений.

1. Для логарифмических величин уровней $L$ при необходимости добавления информации о природе данной величины она должна указываться подстрочным индексом к обозначению величины (например: $L_I$ – уровень тока, $L_P$ – уровень мощности, $L_E$ – уровень напряжённости электрического поля, $L_p$ – уровень давления и т. д.). При полной форме записи численное значение и обозначение единицы исходной величины помещается в скобках за обозначением уровня логарифмической величины или в виде нижнего подстрочного индекса, например:

$L_I {\rm~(исх.~1~А)}=-10~{\rm Нп}\quad{\rm или}\quad L_{I/{\rm 1~А}}=-10~{\rm Нп},$

$L_P {\rm~(исх.~1~мВт)}=20~{\rm дБ}\quad{\rm или}\quad L_{P/{\rm 1~мВт}}=20~{\rm дБ},$

$L_E {\rm~(исх.~1~мкВ/м)}=15~{\rm дБ}\quad{\rm или}\quad L_{E/{\rm 1~мкВ/м}}=15~{\rm дБ},$

$L_p {\rm~(исх.~20~мкПа)}=40~{\rm дБ}\quad{\rm или}\quad L_{p/{\rm 20~мкПа}}=40~{\rm дБ}.$

При краткой форме записи численное значение и обозначение единицы исходной величины указывают в скобках за значением уровня, например: –10 Нп (1 А), 20 дБ (1 мВт), 15 дБ (1 мкВ/м), 40 дБ (20 мкПа).

2. В акустических измерениях для значений уровней громкости звука, определённым по взвешенным шкалам А, В, С, D, используют аналогичную полную форму записи, например для уровня звука по взвешенной шкале А $L_{\rm A}~{\rm (исх.~20~мкПа)}=60~{\rm дБ}$ или $L_{\rm A}=60~{\rm дБ}$, а при краткой форме в скобках за единицей дБ записывают обозначение взвешенной шкалы, например 60 дБ (А).

3. На графиках, в столбцах таблиц и на отсчётных шкалах измерительных приборов обозначение численного значения исходной величины и единицы измерений рекомендуется записывать в виде дроби, например:

$\displaystyle{\frac{L_{\rm A}~{\rm (исх.~20~мкПа)}}{{\rm дБ}}}$.

4. Единицы непер (Нп), бел (Б), децибел (дБ) не должны использоваться, когда не существует соотношения между рассматриваемыми величинами и силовыми или энергетическими величинами.

Необходимо различать применение единицы бел к относительным (безразмерным) и размерным величинам. Для относительной величины $x$: $A=\lg x$, $A=1$ Б при $x=10$. Увеличение уровня величины $x$ на 1 дБ ($1~{\rm дБ}=0,\!1~{\rm Б}=0,\!1\lg 10=\lg 10^{0,1}\approx \lg 1,\!26$) означает увеличение величины $x$ в 1,26 раза.

Для энергетических $P$ и силовых $F$ размерных величин, преобразуемых в условно безразмерные, определения бела отличаются с учётом их физической взаимосвязи. Уровень $L$ энергетической величины $P_2$ (мощность, интенсивность) относительно опорного значения $P_1$ одноимённой величины: $L=\lg P_2/P_1$, $L=1~{\rm Б}$, если $P_2=10P_1$. Уровень $L$ силовой величины $F_2$ (звуковое давление, механическое ускорение, электрическое напряжение) относительно опорного значения $F_1$ определяется выражением $L=2\lg F_2/F_1$. Опорные значения $P_1$ и $F_1$ выбираются соответственно условиям конкретной области измерений, например по международному соглашению $P_1=10^{-12}~{\rm Вт}$ для мощности звука, $F_1=2\cdot10^{-5}~{\rm Па}$ для звукового давления.

К уровням нельзя в общем случае применять ни одно из арифметических действий. Эта особенность обусловлена свойствами логарифмической системы счисления. Сложение или вычитание величин, выраженных в логарифмических единицах, когда это имеет физический смысл, математически сводится к задаче определения логарифма суммы или логарифма разности двух величин, логарифмы которых известны.

Суммарный уровень интенсивности $L_{1+2}$ не равен сумме $L_1$ и $L_2$. Если энергетическая величина $P_2$ увеличивается в 2 раза, то её уровень не удваивается, а возрастает только примерно на 3 дБ. Несколько парадоксальным выглядит сложение двух уровней, каждый из которых равен 0 дБ: суммарный уровень будет в этом случае равен 3 дБ для энергетических и 6 дБ для силовых величин. Однако для относительных величин сложение равных 0 дБ значений даёт суммарное нулевое значение.