Ле́мма Не́ймана – Пи́рсона, утверждение о том, что в задаче проверки простой статистической гипотезы против простой альтернативы критерий, основанный на отношении правдоподобия, является наиболее мощным. Пусть $X$ – случайный вектор, принимающий значения в пространстве $\text R^n$, который имеет либо распределение $P_0$ (гипотеза $H_0$), либо распределение $P_1$ (гипотеза $H_1$). Простейший вариант леммы Неймана – Пирсона связан со случаем, когда распределения $P_i$ имеют плотности $p_i(x),\;$ $i=0,\, 1$ отличные от нуля на одном и том же множестве $A$, и распределение случайной величины $p_1(X)/p_0(X)$ непрерывно [случайный вектор $X$ может принимать значения только из $A$, и на $A$ отношение правдоподобия $p_1(x)/p_0(x)$ определено]. В лемме Неймана – Пирсона рассматривается критерий проверки гипотезы $H_0$ против альтернативы $H_1$, который состоит в том, что гипотеза $H_0$ отвергается (принимается $H_1$), если

$p_1(X)/p_0(X)>c_α,$где $c_α$ определяется из равенства

$\text P(p_1(X)/p_0(X)>c_α |H_0)=α$или, что то же самое,

$\int\limits_S p_0(x)dx= \alpha,$где $S=\left \{ x: p_1(x)>c_αp_0(x)\right \}$. Для этого критерия уровень значимости (вероятность ошибки первого рода, вероятность отвергнуть $H_0$, когда она верна) равен $α$. Лемма Неймана – Пирсона утверждает, что среди всех критериев проверки гипотезы $H_0$ против альтернативы $H_1$ с уровнем значимости $α$ указанный критерий является наиболее мощным, т. е. для него вероятность ошибки второго рода (вероятность отвергнуть $H_1$, когда она верна) минимальна.

Лемму Неймана – Пирсона, доказанную Ю. Нейманом и английским математиком Э. Пирсоном в 1933 г., часто называют фундаментальной леммой математической статистики, известны её многочисленные обобщения. См. также Проверка статистических гипотез.