Ле́мма Ге́нзеля, утверждение, полученное К. Гензелем (Hensel. 1904) при создании теории p-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца $A$ с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$ выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена $P(X) \in A[X]$ и разложения $\bar P(X) = q_1(X) \cdot q_2(X)$ его редукции по модулю $\mathfrak{m}$ в произведение двух взаимно простых многочленов

$$q_1(X) \in (A/ \mathfrak{m})[X], \quad q_2(X) \in (A/\mathfrak{m})[X]$$существуют такие многочлены

$$Q_1(X) \in A[X], \quad Q_2(X) \in A[X],$$что

$$P(X) = Q_1(X) \cdot Q_2(X), \quad \bar Q_1(X) = q_1(X), \quad \bar Q_2(X) = q_2(X)$$(здесь черта обозначает образ при редукции $A \to A / \mathfrak{m}$). В частности, для любого простого корня $\alpha$ редуцированного многочлена $\bar P(X)$ существует решение $a \in A$ уравнения $P(Х) = 0$, удовлетворяющее условию $\bar a = \alpha$. Лемма Гензеля выполняется, например, для полного локального кольца. Лемма Гензеля позволяет сводить решение алгебраического уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так в кольце $Z_7$ $7$-адических чисел из леммы Гензеля следует разрешимость уравнения $X^2 – 2 = 0$, т. к. это уравнение имеет два простых корня в поле $F_7$ из семи элементов. Локальное кольцо, для которого выполняется лемма Гензеля, называется гензелевым кольцом.

По поводу леммы Гензеля в некоммутативном случае см. в работе Zassenhaus. 1954.