Коне́чная группова́я схе́ма, групповая схема, конечная и плоская над базисной схемой. Если $G$ – конечная групповая схема над схемой $(S, \mathcal{O}_S)$, то $G=\operatorname{Spec}(\mathcal{A})$, где $\mathcal{A}$ – конечный плоский квазикогерентный пучок алгебр над $\mathcal{O}_S$. В дальнейшем предполагается, что $S$ локально нётерова. В этом случае пучок $\mathcal{A}$ является локально свободным. Если $S$ связна, то ранг алгебры $\mathcal{A} \times{}_{\mathcal{O}_S} k(s)$ над полем вычетов $k(s)$ точки $s \in S$ не зависит от $s$ и называется рангом конечной групповой схемы. Пусть $n_G: G \rightarrow G$ морфизм $S$–схем, отображающий элемент $x \in G(T)$ в элемент $x^n \in G(T)$ для любой $S$–схемы $T.$ Морфизм $n_G$ является нулевым, если ранг $G$ делит $n$ и $S$ – приведённая схема или $G$ – коммутативная конечная групповая схема. Конечная групповая схема ранга $p$, где $p$ – простое число, коммутативна (Тэйт. 1972).

Если $G$ – подгруппа коммутативной конечной групповой схемы $G$, то определяется конечная групповая схема $G / G^{\prime}$, причём ранг схемы $G$ равен произведению рангов схем $G^{\prime}$ и $G / G^{\prime}$.

Примеры. 1) Пусть $G=G_{m S}$ – мультипликативная групповая схема (соответственно абелева схема $\mathcal{A}$ над $S$); тогда $Ker$ $n_G$ является конечной групповой схемой ранга $|n|$ (соответственно $|n|^{2 \mathrm{dim} \mathcal{A}}$). 2) Пусть $S$ – схема над простым полем $\mathbb{F}_p$ и $F: G_{a S} \rightarrow G_{a S}$ – гомоморфизм Фробениуса аддитивной групповой схемы $G_{a S}$. Тогда $Ker$ $F$ является конечной групповой схемой ранга $p$. 3) Для любой конечной абстрактной группы $\Gamma$ порядка $n$ постоянная групповая схема $\Gamma_S$ является конечной групповой схемой ранга $n$.

Классификация конечных групповых схем над произвольными базами проведена только для случая, когда ранг схемы $G$ есть простое число (Тэйт, Оорт. 1973). Хорошо изучен случай, когда $G$ – коммутативная конечная групповая схема, a $S$ – спектр поля характеристики $p$ (см. Μанин. 1963; Demazuге. 1970; Кгaft. 1975).