Интегра́л Дюаме́ля (формула Дюамеля), представление решения задачи Коши или смешанной задачи с однородными граничными условиями для неоднородного линейного уравнения с частными производными через решение соответствующей задачи для однородного уравнения. Пусть для уравнения

$$\frac{\partial^2 u(t, x)}{\partial t^2}+L[u(t, x)]=f(t, x) ,\quad t>0,\quad x \in R_n, \tag{1}$$где $L$ – линейный дифференциальный оператор с не зависящими от $t$ коэффициентами, содержащий производные по $t$ не выше 1-го порядка, поставлена задача Коши с начальными условиями:

$$\left.u(t, x)\right|_{t=0}=0,\left.\quad \frac{\partial u(t, x)}{\partial t}\right|_{t=0}=0. \tag{2}$$И пусть достаточно гладкая функция $v(t, x ; \tau)$, $t \geqslant \tau$, $\tau \geqslant 0$, $x \in R_n$, является при $t>\tau$ решением однородного уравнения

$$\frac{\partial^2 v(t, x ; \tau)}{\partial t^2}+L[v(t, x ; \tau)]=0,$$удовлетворяющим при $t=\tau$ начальным условиям:

$$\left.v(t, x ; \tau)\right|_{t=\tau}=0,\left.\quad \frac{\partial v(t, x ; \tau)}{\partial t}\right|_{t=\tau}=f(\tau, x).$$Тогда решение задачи Коши (1), (2) выражается интегралом Дюамеля:

$$u(t, x)=\int_0^t v\left(t, x_i ; \tau\right)\,d \tau.$$Сформулированное утверждение носит название принципа Дюамеля и является аналогом метода вариации постоянных.

Аналогичное построение можно провести и в случае задачи Коши с однородным начальным условием для уравнения

$$\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}+M[u(t, x)]=f(t, x); \quad t>0; \quad x \in R_n,$$где $M$ – линейный дифференциальный оператор с независящими от $t$ коэффициентами, содержащий производные только по переменным $x$.

Решение задачи Коши с однородными начальными условиями для неоднородного уравнения теплопроводности выражается интегралом Дюамеля

$$u(t, x)=\int_0^t \int_{R_n}[4 \pi(t-\tau)]^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{|x-\xi|^2}{4(t-\tau)}} f(\tau, \xi)\, d\xi\, d \tau,$$а для волнового уравнения в случае $n=1$

$$u(t, x)=\int_0^t \int_{x-(t-\tau)}^{x+(t-\tau)} f(\tau, \xi)\, d \xi.$$Интеграл Дюамеля называется по имени Ж.-М. Дюамеля (Ј.-M. Duhamel).