Гиперкомпле́ксное число́, элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел $\mathbb{R}$ (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически гиперкомплексные числа возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, которые играли бы для трёхмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем гиперкомплексных чисел.

Гиперкомплексная система ранга $n$ получается введением умножения в $n$-мерном действительном пространстве $\mathbb{R}^n$, удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть $1$ – единица гиперкомплексной системы и $1, i_1, i_2, \ldots, i_{n-1}$ – некоторый базис пространства $\mathbb{R}^n$. Гиперкомплексное число$$\bar{\alpha}=a_0-a_1 i_1-\ldots-a_n i_n$$из гиперкомплексной системы $U$ называется сопряжённым к гиперкомплексному числу$$\alpha=a_0+a_1 i_1+\ldots+a_n i_n.$$Пусть $U^{(2)}=\left\{u_1+u_2 e\right\}$, где $u_1, u_2 \in U$, а $e$ – некоторый новый символ. Множество $U^{(2)}$ можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой$$\left(u_1+u_2 e\right)+\left(v_1+v_2 e\right)=\left(u_1+v_1\right)+\left(u_2+v_2\right) e$$и умножение формулой$$\left(u_1+u_2 e\right)\left(v_1+v_2 e\right)=\left(u_1 v_1-\bar{v}_2 u_2\right)+\left(v_2 u_1+u_2 \bar{v}_1\right) e.$$Гиперкомплексная система $U^{(2)}$ называется удвоением гиперкомплексной системы $U$.

Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, числа Кэли (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры – системы двойных и дуальных чисел, гиперкомплексных чисел вида$$A=a_0 \cdot 1+\sum_{\gamma=1}^{2^{n-1}} a_\gamma i_\gamma,$$при $n=4$, называются числами Клиффорда – Липшица (эти гиперкомплексные числа являются элементами алгебр Клиффорда ранга $2^n$). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над $\mathbb{R}$.

Иногда в определение системы гиперкомплексных чисел включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.