Фу́нкция Стекло́ва для интегрируемой на любом конечном отрезке $[ a, b]$ функции $f (t)$, функция$$\tag{$*$} f _ {h} (t) = \frac{1}{h} \int\limits _ { t-h/2 } ^ { t+h/2 } f(u)\, du = \frac{1}{h} \int\limits _ {-h/2 } ^ { h/2 } f(t+ v) \, dv.$$Функции вида $(*)$, а также повторные функции$$\begin{array}{c} f _ {h,r} (t) = \cfrac{1}{h}\displaystyle\int\limits_{t-h/2}^{t+h/2} f_{h,r-1}(u) \,du,\quad r = 2, 3 \dots; \\ \\ f _ {h,1} (t) = f _ {h} (t), \end{array}$$впервые были введены В. А. Стекловым в 1907 г. (см. Стеклов. 1956) при решении проблемы разложения заданной функции в ряд по собственным функциям. Функция Стеклова $f_h(t)$ почти всюду имеет производную$$f_{h}^{\prime}(t)=\frac{1}{h} \left \{f \left (t+\frac{h}{2}\right)-f\left (t-\frac{h}{2}\right) \right \},$$если $f(t)$ равномерно непрерывна на всей оси, то$$\begin{array}{c}  \sup\limits _ {t \in (-\infty , \infty) } | f(t)-f _ {h} (t) | \leqslant \omega \left (\cfrac{h}{2}, f \right) ,  \\ \sup\limits _ {t \in (-\infty , \infty) } | f _ {h} ^ { \prime } (t) | \leqslant \cfrac{1}{h}  \omega (h, f ), \end{array}$$где $\omega (\delta , f )$ – модуль непрерывности функции $f(t)$. Аналогичные неравенства имеют место и в метрике $L^{p} (-\infty , \infty)$, если только $f \in L^{p}(-\infty , \infty)$.