Фу́нкторный морфи́зм, аналог понятия гомоморфизма (левых) модулей с общим кольцом скаляров (роль кольца при этом играет область определения функторов, а сами функторы играют роль модулей). Пусть $F_1$ и $F_2$ – одноместные ковариантные функторы из категории $\mathfrak R$ в категорию $\mathfrak S$. Функторным морфизмом $\varphi: F_1\to F_2$ называется такое сопоставление каждому объекту $A$ из $\mathfrak R$ морфизма $\varphi_A: F_1(A)\to F_2(A)$, что для любого морфизма $\alpha: A\to B$ из $\mathfrak R$ коммутативна следующая диаграмма:$$\begin{CD} F_1(A)@>F_1(\alpha)>>F_1(B) \\ @V{\varphi_A}VV @VV{\varphi_B}V\\ F_2(A)@>>F_2(\alpha)> F_2(B) \end{CD}$$Если $F_1=F_2$, то, полагая $\varphi_A = 1_{F_1(A)}$, получают так называемый тождественный морфизм функтора $F_1$. Если $\varphi: F_1\to F_2$ и $\psi: F_2\to F_3$ – два функторных морфизма, то, полагая $(\varphi\psi)_A=\varphi_A\psi_A$, получают функторный морфизм $\varphi\psi: F_1\to F_3$, называемый произведением $\varphi$ и $\psi$. Композиция функторных морфизмов ассоциативна. Поэтому для малой категории $\mathfrak R$ все функторы из $\mathfrak R$ в $\mathfrak S$ и их функторные морфизмы образуют так называемую категорию функторов ${\rm Funct} (\mathfrak R, \mathfrak S)$, или категорию диаграмм со схемой $\mathfrak R$.

Пусть $\varphi: F_1\to F_2: \mathfrak R\to\mathfrak S$ – функторный морфизм и $G: \mathfrak M\to \mathfrak R$, $H: \mathfrak S\to\mathfrak R$ – два функтора. Формулы$$\begin{gathered} \forall B\in {\rm Ob}\,\mathfrak M(G\ast\varphi)_B = \varphi_{G(B)},\\ \forall B\in {\rm Ob}\,\mathfrak R(\varphi\ast H)_A = H(\varphi_A) \end{gathered}$$определяют функторный морфизм $G\ast\varphi: GF_1\to GF_2$ и $\varphi\ast H: F_1 H\to F_2 H$ соответственно. Тогда для любых функторных морфизмов $\varphi: F_1\to F_2:\mathfrak R\to\mathfrak S$ и $\psi: H_1\to H_2:\mathfrak S\to\mathfrak R$ справедливо соотношение$$(\varphi\ast H_1)(F_2\ast \psi) = (F_1\ast\psi)(\varphi\ast H_2).$$Функторные морфизмы называют также естественными преобразованиями функторов. По аналогии с функторными морфизмами одноместных функторов определяются функторные морфизмы многоместных функторов.