Фо́рмула Пуанкаре́ – Бертра́на, формула перестановки порядка интегрирования в повторных несобственных интегралах в смысле главного значения по Коши.

Пусть $\Gamma$ – простая замкнутая или разомкнутая гладкая линия на комплексной плоскости; $\varphi\left(t, t_1\right)$ – определённая на $\Gamma$ (вообще говоря, комплекснозначная) функция, удовлетворяющая равномерно условию Гёльдера по $t, t_1$; $t_0$ – фиксированная точка на $\Gamma$, отличная от концов, если $\Gamma$ разомкнута. Тогда имеет место формула Пуанкаре – Бертрана
$$\tag{1} \int_{\Gamma} \frac{d t}{t-t_0} \int_{\Gamma} \frac{\varphi\left(t, t_1\right)}{t_1-t} d t_1=-\pi^2 \varphi\left(t_0, t_0\right)+\int_{\Gamma} d t_1 \int_{\Gamma} \frac{\varphi\left(t, t_1\right)}{\left(t-t_0\right)\left(t_1-t\right)} d t .$$Формула справедлива и при более общих предположениях относительно линии $\Gamma$ и функции $\varphi$ (Мусхелишвили. 1968). Если $\varphi\left(t, t_1\right)=\alpha(t) \beta\left(t_1\right)$, где $\alpha \in L_p$, $\beta \in L_{p^{\prime}}$, $p>1$, $p^{\prime}=p /(p-1)$, то равенство $(1)$ справедливо для почти всех $t_0 \in \Gamma$ (Khvedelidze. 1947; Xведелидзе. 1975). Если линия $\Gamma$ замкнута и функция $\varphi$ зависит от одного аргумента, то равенство $(1)$ принимает вид
$$\tag{2} \frac{1}{(\pi i)^2} \int_{\Gamma} \frac{d t}{t-t_0} \int_{\Gamma} \frac{\varphi\left(t_1\right)}{t_1-t} d t_1=\varphi\left(t_0\right)$$и имеет место для всех или почти всех $t_0 \in \Gamma$ в зависимости от того, удовлетворяет $\varphi$ условию Гёльдера или $\varphi \in L_p$, $p>1$. Равенство $(2)$ также называется формулой Пуанкаре – Бертрана.

Построены аналоги формулы $(1)$ в случае кратных интегралов (Tricomi. 1928; Giraud. 1936; Giraud. 1934; Михлин. 1948).

Формула $(1)$ при определённых условиях была получена Г. Харди (Нardу. 1909) ранее А. Пуанкаре (Poincaré. 1910) и Ж. Бертрана (Bertrand. 1921; Bertrand. 1923).