Научные законы, утверждения, уравненияНаучные законы, утверждения, уравнения
Формула Кронекера
Области знаний:
Основы математического анализа
Научные законы, утверждения, уравненияНаучные законы, утверждения, уравнения
Формула Кронекера
Фо́рмула Кро́некера, формула, выражающая алгебраическую сумму значений некоторой функции на множестве корней системы уравнений; установлена Л. Кронекером (Кronecker. 1869; 1878). Пусть Ft(x1,…,xn), t=0,1,…,n, f(x1,…,xn) – действительнозначные непрерывно дифференцируемые в Rn такие, что система уравненийFs(x1,…,xn)=0,s=1,…,n,(1)имеет конечное число корней. Пусть уравнениеF0(x1,…,xn)=0определяет замкнутую поверхность P, не проходящую через корни системы (1), и F0<0 внутри P. Если функции Fs, s=1,…,n, рассматриваются как компоненты векторного поля в пространстве Rn, то его особые точки (по определению) соответствуют корням системы (1). Пусть xα – некоторый корень, а χ(xα) – индекс этой особой точки. ТогдаKn1α∑f(xα)χ(xα)=∫F0<0RnΛdV−∫F0=0QRnfDdS(2)(суммирование по всем корням), где Kn – объём единичной сферы Sn−1,R=s=1∑n(Fs)2,Q=i=1∑n(Fi0)2,Λ=0F1…Fnf1F11…F1n…………fnFn1…Fnn,D=F0F1…FnF10F11…F1n…………Fn0Fn1…Fnn,и для функции Φ через Φi обозначены её производные ∂xi∂Φ. Формула (2) и есть формула Кронекера.
При f≡1 пространственный интеграл в (2) исчезает и получается выражение для суммы индексов χF особых точек векторного поля {Fs}, расположенных внутри поверхности P, т. е. для степени отображения поверхности P в сферу Sn−1, определяемого как ограничение на множество P отображения Fs∘=Fs/R, s=1,…,n. При некоторых дополнительных условиях величина χF равна т. н. характеристике Кронекера системы функций F0,F1,…,Fn (Четаев. 1962).