Фо́рмула Кристо́ффеля – Шва́рца, формула

$$f(z)=c \int_{z_{0}}^{z} \prod_{k=1}^{n}\left(t-a_{k}\right)^{\alpha_{k}-1}\,d t+c_{1},\tag{*}$$дающая интегральное представление функции $f(z)$, конформно отображающей верхнюю полуплоскость $\operatorname{Im} z>0$ на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами $A_{k}$ и углами $\pi\alpha_{k}$ при вершинах ($0<\alpha_{k}\leqslant 2$, $k=1, \ldots, n$). При этом $z_{0}, c, c_{1}$ – некоторые постоянные, $A_{k}=f\left(a_{k}\right)$, $k=1, \ldots, n$. Постоянную $z_{0}$ можно фиксировать произвольно в верхней полуплоскости. Тройку точек из $a_{1}, \ldots, a_{n}$, например, $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, можно задавать произвольно; остальные $n-3$ точки $a_{k}$, а также постоянные $c$, $c_{1}$ определяются однозначно, если вершины $A_{1}, \ldots, A_{n}$ многоугольника заданы (M. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973). Формула (*) была получена независимо Э. Кристоффелем (1867) и в 1869 г. Г. Шварцем (опубликовано в 1890). Интеграл в правой части формулы (*) называется интегралом Кристоффеля – Шварца.

Основная трудность при применении формулы (*) состоит в нахождении неизвестных параметров. При $n>4$ общие методы неизвестны.

Разработаны методы приближённого отыскания параметров формулы Кристоффеля – Шварца (Л. В. Канторович, В. И. Крылов, 1962; В. Коппенфельс, Ф. Штальман, 1963).

Формула Кристоффеля – Шварца остаётся справедливой и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удалённой точке. В этом случае угол между сторонами многоугольника в бесконечности определяется как угол, взятый со знаком минус, между этими же сторонами или их продолжениями в конечной точке. Если прообраз $a_{i}$ одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удалённой точке, то соответствующий множитель $\left(t-a_{i}\right)^{\alpha_{i}-1}$ в формуле (*) выпадает.

Формула Кристоффеля – Шварца справедлива также для функции, отображающей единичный круг $|z|<1$ на рассмотренный выше многоугольник. В этом случае $\left|a_{k}\right|=1, k=1, \ldots, n, \left|z_{0}\right| \leqslant 1$. Видоизменения этой формулы охватывают случаи отображения верхней полуплоскости, а также внутренности и внешности единичного круга на внешность многоугольника (M. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973).

Формула Кристоффеля – Шварца обобщена на случай, когда функция $f(z)$ конформно отображает круговое кольцо $0<q<|z|<1$ или, в более общем случае, многосвязную область, состоящую из круга с выброшенными из него $n$ кругами, на область соответствующей связности, ограниченную многоугольниками (Н. И. Ахиезер, 1970; Ю. Д. Максимов, 1961).