Фигу́ры Лиссажу́, замкнутые плоские кривые, описываемые точкой, движение которой является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных колебаний с отношением частот, равным рациональному числу. Впервые были подробно изучены французским математиком Ж. А. Лиссажу в 1857–1858 гг. Фигуры Лиссажу описываются системой параметрических уравнений (параметр – время ${t}$):

${x = A}_{1} \cos({ \omega }_{1}{t + \varphi}_{1}),$${y = A}_{2} \cos({ \omega }_{2}{t + \varphi}_{2})$при отношении частот $\omega_{2} : \omega_{1}$, равном рациональному числу. Фигуры Лиссажу вписаны в прямоугольник со сторонами ${2A_{1}}$ и ${2A}_{2}$, параллельными соответственно осям ${x}$ и ${y}$. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот $\omega_{2} : \omega_{1}$ и разности фаз $\triangle{ \varphi} = { \varphi}_{2} – { \varphi}_{1}$ обоих колебаний.

Фигуры Лиссажу.Фигуры Лиссажу.В случае равных частот $\omega_{2} : \omega_{1} = 1:1$ фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при $\triangle{ \varphi} = 0$ или $\pm \pi$ вырождаются в отрезки прямых, а при $\triangle{ \varphi} = \pm \pi /2$ и ${A}_{1} = {A}_{2}$ превращаются в окружность (см. рисунок). При неравных частотах фигуры Лиссажу имеют более сложный вид. Отношение числа касаний фигуры Лиссажу горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольника, в который она вписана, даёт отношение частот $\omega_{2} : \omega_{1}$. Направление движения точки по фигуре Лиссажу определяется разностью фаз $\triangle \varphi$.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране осциллографа, подав на его вертикально и горизонтально отклоняющие пластины переменные напряжения с отношением частот, равным рациональному числу. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между частотами и фазами напряжений. При небольшом отклонении отношения частот от рационального числа наблюдается медленное изменение разности фаз во времени и плавное изменение вида фигур Лиссажу.