Фигуры Лиссажу

Фигу́ры Лиссажу́, замкнутые плоские кривые, описываемые точкой, движение которой является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных колебаний с отношением частот, равным рациональному числу. Впервые были подробно изучены французским математиком Ж. А. Лиссажу в 1857–1858 гг. Фигуры Лиссажу описываются системой параметрических уравнений (параметр – время ${\displaystyle {t}}$):

${\displaystyle {x=A}_{1}\cos({\omega }_{1}{t+\varphi }_{1}),}$

${\displaystyle {y=A}_{2}\cos({\omega }_{2}{t+\varphi }_{2})}$

при отношении частот ${\displaystyle \omega _{2}:\omega _{1}}$, равном рациональному числу. Фигуры Лиссажу вписаны в прямоугольник со сторонами ${\displaystyle {2A_{1}}}$ и ${\displaystyle {2A}_{2}}$, параллельными соответственно осям ${\displaystyle {x}}$ и ${\displaystyle {y}}$. Вид фигур Лиссажу зависит от отношения частот ${\displaystyle \omega _{2}:\omega _{1}}$ и разности фаз ${\displaystyle \triangle {\varphi }={\varphi }_{2}-{\varphi }_{1}}$ обоих колебаний.

В случае равных частот ${\displaystyle \omega _{2}:\omega _{1}=1:1}$ фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые при ${\displaystyle \triangle {\varphi }=0}$ или ${\displaystyle \pm \pi }$ вырождаются в отрезки прямых, а при ${\displaystyle \triangle {\varphi }=\pm \pi /2}$ и ${\displaystyle {A}_{1}={A}_{2}}$ превращаются в окружность (см. рисунок). При неравных частотах фигуры Лиссажу имеют более сложный вид. Отношение числа касаний фигуры Лиссажу горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольника, в который она вписана, даёт отношение частот ${\displaystyle \omega _{2}:\omega _{1}}$. Направление движения точки по фигуре Лиссажу определяется разностью фаз ${\displaystyle \triangle \varphi }$.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране осциллографа, подав на его вертикально и горизонтально отклоняющие пластины переменные напряжения с отношением частот, равным рациональному числу. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между частотами и фазами напряжений. При небольшом отклонении отношения частот от рационального числа наблюдается медленное изменение разности фаз во времени и плавное изменение вида фигур Лиссажу.