Э́та-инвариа́нт Атьи́ – Пато́ди – Зи́нгера (Atiyah. 1975) эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора $A$ на гладком замкнутом многообразии $M$, значение в точке $s=0$ аналитического продолжения эта-функции $$\eta_A(s)=\sum_{\lambda\ne 0}\frac{\operatorname{sgn}\lambda}{|\lambda|^s}\tag{1}$$оператора $A$, где число $\lambda$ пробегает собственные значения оператора $A$. Ряд в (1) сходится абсолютно при $\operatorname{Re} s>\operatorname{dim} M/\operatorname{ord} A$ (где $\operatorname{dim}M$ – размерность многообразия $M$, а $\operatorname{ord} A$ – порядок оператора $A$) и определяет аналитическую функцию параметра $s$. Эта функция имеет мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость, причём в точке $s=0$ полюса нет (Atiyah. 1976). Эта-инвариант является спектральным инвариантом оператора. Для гладкой гомотопии операторов $A(t)$ эта-инвариант как функция параметра $t$ будет кусочно-гладкой функцией параметра. При этом скачки эта-инварианта являются целочисленными и отвечают спектральному потоку – целочисленному инварианту, отвечающему собственным значениям, меняющим знак при изменении параметра $t$, а непрерывная часть изменения эта-инварианта выражается в терминах полного символа операторов семейства. Если $\operatorname{ord} A+\operatorname{dim} M\equiv 1\bmod 2$, то указанная непрерывная часть равна нулю. Эта-инварианты возникли (Atiyah. 1975) при вычислении индекса краевой задачи для оператора Дирака на многообразии с краем методом уравнения теплопроводности. Эта-инвариант и близкие инварианты возникают также в теории индекса операторов типа Дирака на многообразиях с особенностями и на некомпактных многообразиях.

Эта-инвариант имеет многочисленные обобщения: для семейств операторов определены эта-формы, для $G$-инвариантных операторов определены эквивариантные эта-инварианты и высшие эта-инварианты и т. д. В статье «The eta invariant and families of pseudodifferential operators» (Melrose. 1995) определён эта-инвариант семейств псевдодифференциальных операторов с параметром как регуляризация числа вращения семейства.