Аксио́мы Пеа́но, система из пяти аксиом для натурального ряда $N$ и функции $S$ (прибавление $1$) на нём, введённая Дж. Пеано (1889):$$\begin{aligned} &(1)\, 0\in N;\\ &(2)\, x\in N\to Sx\in N;\\ &(3)\, x\in N\to Sx\ne 0;\\ &(4)\, x\in N\land y\in N\land Sx=Sy \to x=y;\\ &(5)\, 0\in M \land \forall x (x\in M \to Sx\in M)\to N\subseteq M \,\text{для любого свойства } M \text{ (аксиома индукции)}. \end{aligned}$$В первом варианте вместо $0$ использовалась $1$. Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд (1888). Аксиомы Пеано категоричны, т. е. любые две системы $(N, S, 0)$ и $(N', S', 0')$, удовлетворяющие аксиомам Пеано, изоморфны. Изоморфизм определяется функцией $f(x,x)$, где$$f(0,0)=0',\quad f(Sx,Sx) = S'f(x,x);$$$$f(x,Sy) = f(x,y);\quad f(x,y)=0 \text{ для } y<x.$$Существование $f(x,y)$ для всех пар $(x,y)$ и взаимная однозначность при $x\le y$ доказываются по индукции. Аксиомы Пеано позволяют развить теорию чисел, в частности ввести обычные арифметические функции и доказать их свойства. Все аксиомы независимы, однако $(3)$ и $(4)$ можно объединить в одну:$$x\in N\land y\in N\land x<y \to x\ne y,$$если определить $x<y$ как$$\forall M\, [M(Sx)\land \forall z (M(z)\to M(Sz)) \to M(y)].$$Независимость доказывается предъявлением модели, в которой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой. Для $(1)$ такая модель – натуральный ряд, начиная с единицы; для $(2)$ – множество $N\bigcup \{1/2\}$, где $S0=1/2$, $S(1/2)= 1$; для $(3)$ – множество $\{0\}$; для $(4)$ – множество $\{0, 1\}$ с $S0=S1=1$; для $(5)$ – множество $N\bigcup \{-1\}$.

Иногда под арифметикой Пеано понимают систему в языке $1$-го порядка с функциональными символами $S$, $+$ , $\cdot$, состоящую из аксиом$$Sx\ne 0,\quad Sx=Sy\to x=y,$$определяющих равенств для $+$ , $\cdot$ и схемы индукции$$A(0)\land\forall x(A(x)\to A(Sx))\to \forall x A(x)$$(см. Формальная арифметика).