Эллипсоидальные координаты

Эллипсоида́льные координа́ты (эллиптические координаты в пространстве), числа ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ и ${\displaystyle \nu }$, связанные с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x,y}$ и ${\displaystyle z}$ формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&={\frac {\left(\lambda +a^{2}\right)\left(\mu +a^{2}\right)\left(\nu +a^{2}\right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}},\\y^{2}&={\frac {\left(\lambda ^{2}+b^{2}\right)\left(\mu +b^{2}\right)\left(\nu +b^{2}\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)}},\\z^{2}&={\frac {\left(\lambda +c^{2}\right)\left(\mu +c^{2}\right)\left(\nu +c^{2}\right)}{\left(a^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle -a^{2}<\nu <-b^{2}<\mu <-c^{2}<u<\infty }$. Координатные поверхности (см. рис.): эллипсоиды

${\displaystyle (\lambda =\operatorname {const} )}$, однополостные гиперболоиды ${\displaystyle (\mu =\operatorname {const} )}$ и двуполостные гиперболоиды ${\displaystyle (\nu =\operatorname {const} )}$ с центрами в начале координат. Система эллипсоидальных координат – ортогональная. Каждой тройке чисел ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ и ${\displaystyle \nu }$ соответствуют 8 точек (по одной в каждом октанте), симметричных друг другу относительно плоскостей системы ${\displaystyle Oxyz}$.

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\mu )(\mu -\nu )}{\left(\lambda +a^{2}\right)\left(\lambda +b^{2}\right)\left(\lambda +c^{2}\right)}}},\\&L_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\mu )(\nu -\mu )}{\left(\mu +a^{2}\right)\left(\mu +b^{2}\right)\left(\mu +c^{2}\right)}}},\\&L_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{\left(\nu +a^{2}\right)\left(\nu +b^{2}\right)\left(\nu +c^{2}\right)}}}.\end{aligned}}}$

Если в условиях ${\displaystyle a^{2}>b^{2}>c^{2}>0}$ при определении эллипсоидальных координат допускать и равенства, то можно получить вырожденные системы эллипсоидальных координат.