Формула Остроградского

Фо́рмула Острогра́дского, формула преобразования интеграла, взятого по объёму ${\displaystyle \Omega }$, ограниченному поверхностью ${\displaystyle \Sigma }$, в интеграл, взятый по этой поверхности:

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz=\iint _{\Sigma }X\,dy\,dz+Y\,dx\,dz+Z\,dx\,dy}$;

здесь ${\displaystyle X,Y,Z}$ – функции точки ${\displaystyle (x,y,z)}$, принадлежащей 3-мерной области ${\displaystyle \Omega }$. Формула Остроградского получена М. В. Остроградским (1828, опубликована в 1831). В векторной форме формула Остроградского имеет вид

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\operatorname {div} p\,dv=\iint _{\Sigma }(p,n)\,d\sigma ,}$

где ${\displaystyle p}$ – вектор поля, заданного в области ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle dv}$ – элемент объёма, ${\displaystyle n}$ – единичный вектор внешней нормали к поверхности ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle d\sigma }$ – элемент этой поверхности. В гидродинамическом истолковании формула Остроградского устанавливает равносильность двух способов учёта количества жидкости, которое вытекает из оболочки ${\displaystyle \Sigma }$ в единицу времени: исходя из интенсивности точечных источников, заполняющих область ${\displaystyle \Omega }$ (левая часть равенства); исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку ${\displaystyle \Sigma }$ (правая часть равенства). Самим Остроградским формула была обобщена (1834, опубликована в 1838) для интеграла по ${\displaystyle n}$-мерной области. Если ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0}$ есть уравнение (гипер-)поверхности ${\displaystyle \Sigma }$, ограничивающей область ${\displaystyle \Omega }$, то

${\displaystyle \int _{\Omega }\left({\frac {\partial X_{1}}{\partial x_{1}}}+\dots +{\frac {\partial X_{n}}{\partial x_{n}}}\right)dx_{1}\dots dx_{n}=\int _{\Sigma }{\frac {X_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\dots +X_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)^{2}}}}\,ds,}$

где в правой части интеграл взят по поверхности ${\displaystyle \Sigma }$ с элементом площади ${\displaystyle ds}$.