Формула Ланжевена – Дебая

Фо́рмула Ланжеве́на – Деба́я, соотношение, связывающее диэлектрическую проницаемость ${\displaystyle \varepsilon }$ полярного диэлектрика с электрическими характеристиками его молекул:

${\displaystyle \displaystyle {{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon -2}}={\frac {N}{3\varepsilon _{0}}}(\alpha _{0}+\alpha _{\text{дип}})},\qquad (1)}$

где ${\displaystyle N}$ – число молекул в единице объёма диэлектрика; ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ – электрическая постоянная; ${\displaystyle \alpha _{0}}$ – поляризуемость отдельной молекулы ${\displaystyle (\alpha _{0}=p/E_{\text{лок}}}$, где ${\displaystyle E_{\text{лок}}}$ – напряжённость локального электрического поля, действующего на молекулу, ${\displaystyle p}$ – дипольный момент молекулы, возникающий вследствие её деформации в электрическом поле); в общем случае ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha _{\text{эл}}+\alpha _{\text{ион}}}$, где ${\displaystyle \alpha _{\text{эл}}}$ – электронная поляризуемость, вызванная смещением электронной оболочки атома относительно ядра под действием поля, ${\displaystyle \alpha _{\text{ион}}}$ – ионная поляризуемость, обусловленная смещением ионов по отношению к другим ионам; ${\displaystyle \alpha _{\text{дип}}}$ – дипольная (ориентационная) поляризуемость, возникающая при наличии у молекулы диэлектрика постоянного дипольного момента ${\displaystyle p_{0}}$ (в отсутствие внешнего электрического поля) под действием двух конкурирующих механизмов – ориентирующего действия локального электрического поля ${\displaystyle E_{\text{лок}}}$, стремящегося выстроить молекулярные диполи вдоль электрического поля, и хаотического теплового движения молекул диэлектрика, стремящегося разупорядочить их. Если диэлектрик состоит из молекул различных сортов, то ${\displaystyle N(\alpha _{0}+\alpha _{\text{дип}})}$ заменяется на ${\displaystyle \sum _{i}N_{i}(\alpha _{0,i}+\alpha _{{\text{дип}},i})}$, где суммирование производится по всем сортам молекул.

Для дипольной поляризуемости П. Дебай в 1912 г. получил выражение:

${\displaystyle \displaystyle {\alpha _{\text{дип}}={\frac {p_{0}^{2}}{kT}}{\frac {L(x)}{x}}\cong {\frac {p_{0}^{2}}{3kT}}},\qquad (2)}$

где ${\displaystyle x=p_{0}E_{\text{лок}}/(kT)}$, ${\displaystyle p_{0}}$ – дипольный момент молекулы диэлектрика, ${\displaystyle k}$ – постоянная Больцмана, ${\displaystyle T}$ – абсолютная температура, ${\displaystyle L(x)=\operatorname {cth} x-1/x}$ – функция Ланжевена, введённая П. Ланжевеном в 1905 г. для расчёта намагниченности парамагнитных газов, молекулы которых имеют постоянный магнитный момент в отсутствие внешнего магнитного поля. Приближённое равенство в выражении (2) выполняется с относительной погрешностью, не превышающей ${\displaystyle p_{0}E_{\text{лок}}/(15kT)}$.

Подстановка приближения (2) в (1) с учётом равенства ${\displaystyle N=N_{\text{А}}\rho /M}$ приводит формулу Ланжевена – Дебая для диэлектрика, состоящего из молекул одного сорта, к виду:

${\displaystyle \displaystyle {{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon -2}}\cdot {\frac {M}{\rho }}={\frac {N_{A}}{3\varepsilon _{0}}}\left(\alpha _{0}+{\frac {p_{0}^{2}}{3kT}}\right)},\qquad (3)}$

где ${\displaystyle M}$ – молярная масса, ${\displaystyle \rho }$ – плотность диэлектрика, ${\displaystyle N_{\text{А}}}$ – число Авогадро. Эту формулу используют для определения структуры молекул. Измерения температурной зависимости ${\displaystyle \varepsilon (T)}$ и ${\displaystyle \rho (T)}$ позволяют по наклону прямой, характеризующей зависимость левой части (3) от ${\displaystyle T^{-1}}$ определить дипольный момент ${\displaystyle p_{0}}$ и поляризуемость ${\displaystyle \alpha _{0}}$ отдельной молекулы диэлектрика. Эта формула применяется для газов и паров из полярных молекул при низких давлениях, а также для разбавленных растворов полярных жидкостей в неполярных растворителях.

Формула Ланжевена – Дебая выполняется и для диэлектриков, находящихся в переменном электрическом поле достаточно высокой частоты, т. к. дипольные моменты молекул ещё успевают ориентироваться вслед за полем вплоть до частот СВЧ-диапазона. В более высокочастотных микроволновом и ИК-диапазонах ${\displaystyle \alpha _{\text{дип}}=0}$ (как и для неполярных диэлектриков с ${\displaystyle p_{0}=0)}$ и формула Ланжевена – Дебая переходит в формулу Клаузиуса – Моссотти. В видимом и УФ-диапазонах (когда уже и ионы не успевают смещаться вслед за полем и ${\displaystyle \alpha _{\text{ион}}=0)}$ формула Ланжевена – Дебая переходит в формулу Лоренца – Лоренца, которая обычно записывается с заменой ${\displaystyle \varepsilon =n^{2}}$, где ${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}$ – показатель преломления диэлектрика (для обычных оптических сред магнитная проницаемость ${\displaystyle \mu =1)}$.

При выводе формулы Ланжевена – Дебая предполагается, что молекулы находятся в локальном поле, описываемом формулой Х. А. Лоренца: ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{\text{лок}}={\boldsymbol {E}}_{\text{ср}}+{\boldsymbol {P}}/(3\varepsilon _{0})}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{\text{ср}}}$ – средняя напряжённость электрического поля в диэлектрике, ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ – вектор поляризации диэлектрика. Это выражение для напряжённости локального электрического поля, учитывающее его отличие от усреднённого электрического поля в диэлектрике, справедливо для изотропных диэлектриков (газы, пары́, разбавленные растворы полярных жидкостей в неполярных растворителях), а также для твёрдых диэлектриков с кубической кристаллической структурой, для которых также применимы предельные случаи формулы Ланжевена – Дебая (формула Клаузиуса – Моссотти или формула Лоренца – Лоренца).