Устойчивость по Пуассону

Усто́йчивость по Пуассо́ну, свойство точки ${\displaystyle x}$ (траектории ${\displaystyle f^{t}x}$) динамической системы ${\displaystyle f^{t}}$ [или ${\displaystyle f(t,\cdot )}$], заданной на топологическом пространстве ${\displaystyle S}$, состоящее в следующем: найдутся последовательности ${\displaystyle t_{k}\longrightarrow +\infty }$, ${\displaystyle \tau _{k}\longrightarrow -\infty }$ такие, что

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }f^{t}k_{x}=\lim _{k\rightarrow \infty }f^{\tau }k_{x=x}}$.

Иными словами, ${\displaystyle x}$ является ${\displaystyle \alpha }$- и ${\displaystyle \omega }$-предельной точкой траектории ${\displaystyle f^{t}x}$. Понятие устойчивости по Пуассону введено А. Пуанкаре (Пуанкаре. 1972^[1]) на основе анализа результатов C. Пуассона по устойчивости планетных орбит.

Всякая точка, устойчивая по Пуассону, – неблуждающая; обратное неверно (см. в статье Блуждающая точка). Всякая неподвижная и всякая периодическая точка, вообще всякая рекуррентная точка, устойчивы по Пуассону. Если ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{2}}$ и динамическая система гладкая (т. е. задана векторным полем класса ${\displaystyle C^{1}}$), то всякая точка, устойчивая по Пуассону, является либо неподвижной, либо периодической.

Теорема Пуанкаре о возвращении: если динамическая система задана на ограниченной области пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то устойчивы по Пуассону все точки, кроме точек некоторого множества первой категории меры нуль (см. Пуанкаре. 1972; Окстоби. 1974^[2]). Обобщением этой теоремы на динамические системы, заданные на пространстве бесконечной меры, является теорема Хопфа о возвращении (см. Немыцкий. 2017^[3]): если динамическая система задана на произвольной области пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (например, на всём ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) и лебегова мера является инвариантной мерой системы, то каждая точка ${\displaystyle x}$, кроме точек некоторого множества меры нуль, или устойчива по Пуассону, или является уходящей, т. е.

${\displaystyle \left|f^{t}x\right|\rightarrow \infty \,\,{\text{ при }}\,\,|t|\rightarrow \infty }$.

Имеются и более общие формулировки теорем Пуанкаре и Хопфа (см. Немыцкий. 2017).